Resolver para $k$ para que la condición se mantenga.

Question

$C$ es un $n$ -que consiste en reales positivos, por lo que $C\subset\mathbb{R^+}$ y quiero que esta condición sea verdadera

$$(1+\sum\limits_{c\in C}c)^k>\sum\limits_{c\in C}(1+c)^k$$

o

$$1>\frac{\sum\limits_{c\in C}(1+c)^k}{(1+\sum\limits_{q\in C}q)^k}=\sum\limits_{c\in C}\left(\frac{1+c}{1+\sum\limits_{q\in C}q}\right)^k$$

Pero cada vez que intento algo obtengo una ecuación de la forma $a^k-b^k=1$ y no sé cómo resolver para $k$ .

Answer 1

Incluso para $n = 2$ no obtendrás una condición necesaria y suficiente de forma cerrada. Si quieres una condición suficiente, tal vez esto sirva: si $m = \max_{c \in C} c$ y $s = \sum_{c \in C} c$ entonces $$ \sum_{c \in C} (1+c)^k \le n (1+m)^k < (1+s)^k\ \text{if}\ k > \frac{\log n}{\log (1+s)-\log(1+m)}$$