Construcción de submanifolds. ¿He entendido bien esto?

Question

Sólo quiero saber si entiendo la construcción de un submanifold en algún $\mathbb{R}^n$ correctamente. Por favor, corrija todo lo que crea que puede ser incorrecto.

Por lo que sé hasta ahora, siempre es posible obtener un submanifold en un $\mathbb{R}^m$ mediante estos dos métodos a) tener gráficos b) teniendo un sistema de ecuaciones con propiedades especiales tales que su solución es un colector.

Y por lo que veo: ¿Cada submanifold puede ser representado por ambos métodos? ¿Es esto correcto?

Como en clase sólo hemos tratado el método a), tengo un par de preguntas sobre el método b). Especialmente quiero ver por qué b) es equivalente a la definición de un submanifold por a).

Supongamos que queremos construir un colector de dimensión $n-m$ como solución de un sistema de ecuaciones $f_i:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ , de tal manera que $(f_1,...,f_m)(x)=0$ . Ahora nuestro múltiple vivirá en $\mathbb{R}^n$ . Lo que buscamos es un valor regular. Este es un punto $y \in \mathbb{R}^m$ , tal que para todo $x \in f^{-1}\{y\}$ la derivada $Df(x)$ es suryente (por tanto, todos los x son puntos regulares). Por razones de simplicidad para aplicar el teorema de la función implícita quiero decir: $y=0$ . En ese caso, nuestro colector viene dado por el conjunto de puntos regulares.

Entonces, ¿en qué se parece esta definición a los gráficos? Bueno, afais esto es sólo el teorema de la función implícita, porque: Para CADA punto regular, el espacio nulo $X$ y su complemento $X^\perp$ acumularse $\mathbb{R}^n=X \times X^\perp$ . Por lo tanto, podemos decir que $f'(x)=(g'(x),h'(x))$ para cada punto del submanifold, donde la primera componente se referirá al espacio nulo y la segunda al complemento, por lo que $f'(x)=(0,h'(x))$ . Pero por razones dimensionales $h'(x)$ debe ser invertible(como también es suryectiva, ya que f'(x) lo es).Por lo tanto el teorema de la función implícita nos da la carta local alrededor de este punto regular en la variedad a un entorno local del valor regular.

¿Estoy entendiendo bien esto? Agradezco cualquier tipo de ayuda.

Answer 1

Tal vez esta versión del teorema de la función implícita pueda explicar la equivalencia que pediste. Supongamos que $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ $F:\bR^n\to \bR^m$ es un mapa suave tal que $F(0)=0$ y el diferencial de $f$ en $0$ es sobreyectiva. Entonces podemos encontrar nuevas coordenadas (no lineales) $(x^1,\dotsc, x^n)$ en un barrio $U$ de $0\in\bR^n$ y nuevas coordenadas (no lineales) $(y^1,\dotsc, y^m)$ en un barrio $V$ de $0\in\bR^m$ tal que $F(U)\subset V$ y estas nuevas coordenadas el mapa $F|_U:U\to V$ tiene la simple descripción

$$U\ni (x^1,\dotsc,x^n)\mapsto (y^1,\dotsc,y^m)=(x^1,\dotsc,x^m)\in V. $$

El conjunto cero $\{F=0\}\cap U$ se describe entonces mediante las igualdades $x^1=\cdots =x^m=0$ y en este conjunto cero se encuentran las coordenadas $(x^{m+1},\dotsc, x^{n})$ .