Resolver el ejercicio
La unicidad es fácil, ya que además es determinado por el grupo de operación $G$ y el mapa de $\phi$
$$x+y = x(1-(-x^{-1}y)) = x \phi(g x^{-1} y )$$
mientras $g x^{-1} y \neq 1$, pero $g x^{-1} y = 1 \implies -x^{-1} y = 1 \implies y = -x$, de modo que $x+y= 0$.
La existencia es, ya sea directa o falso: verificar esta definición de $+$ define asociativa, abelian operación binaria en $G \cup \{0\}$ con el inverso aditivo $x\mapsto gx$, y que la operación se distribuye sobre la multiplicación de $G$.
Lema: $\phi$ es inyectiva. [Propiedad 2 muestra $\phi$ es su propia inversa]
Lema: g tiene orden de división 2. [$\phi(g^{-1}) \stackrel{3}{=} g \phi(g) g^{-1} \stackrel{1}{=} \phi(g) \stackrel{2}{\implies} g^{-1} =g$]
Lema: Si x y y conmuta, entonces do $\phi(x)$ e y. [$y\phi(x) = y\phi(x) y^{-1} y \stackrel{1}{=} \phi(yxy^{-1}) y = \phi(x) y$]
Lema: g es central. $\phi(x) \stackrel{3}{=} g\phi(x^{-1}) x \stackrel{L}{=} gx\phi(x^{-1}) \stackrel{3}{=} gxg \phi(x) x^{-1} \stackrel{L}{=} gxgx^{-1} \phi(x) \implies gxgx^{-1}=1 \implies gx=xg$.
Abelian: sobre todo fácil, una vez que usted sabe que usted puede mover g alrededor. $$x \phi(x g^{-1} y ) = x \phi( (y^{-1} x g)^{-1} ) = xg\phi( y^{-1} x g ) g x^{-1} y = x \phi( g í a^{-1} x ) x^{-1} y = y (y^{-1}x \phi( gy^{-1}x) (y^{-1}x)^{-1} = y \phi(
(y^{-1}x) (gy^{-1}x) (y^{-1}x)^{-1} ) = y\phi(gy^{-1}x) $$
Asociativa: Esto es horrible, y creo que necesita algo como el cuarto de la propiedad para continuar.
$x+(y+z) = x+(y\phi(gy^{-1}z)) = x\phi(gx^{-1}y\phi(gy^{-1}z))$
$(x+y)+z = (x\phi(gx^{-1}y)) + z = x\phi(gx^{-1}y)\phi(g (x\phi(gx^{-1}y))^{-1} z )$
así que tenemos que demostrar que:
$$\phi(gx^{-1}y\phi(gy^{-1}z)) \stackrel{?}{=} \phi(gx^{-1}y)\phi(g (x\phi(gx^{-1}y))^{-1} z ) $$
Distributiva: Estos son fáciles. El segundo de los usos que g es central.
$xy+xz = xy\phi(g(xy)^{-1} xz) = xy\phi(gy^{-1}x^{-1}xz) = x(y\phi(gy^{-1}z) = x(y+z)$
$yx+zx = yx\phi(g(yx)^{-1} zx) \stackrel{1}{=} y\phi( xgx^{-1}y^{-1}zxx^{-1}) x = y\phi(gy^{-1} z) x = (y+z)x$
Entender el resultado
Un anillo de división está determinada únicamente por su grupo de unidades, el valor de $-1$, y el mapa de $\phi:x \mapsto 1-x$. Obviamente hay restricciones en el grupo, los elementos que podrían ser $-1$, y el mapa de $\phi$. Las tres primeras propiedades son necesarios.
Cohn estudiado identidades que deben ser satisfechos en sesgar los campos (la ampliación de la labor de Malcev) y de hecho, escribió algunos de ellos. Presumiblemente, algunas propiedades similares a la cuarta fue suficiente.
El resultado es trivial o mal
Supongamos que un G y D existe. A continuación, $\phi$ se define en $D\setminus\{0,1\}$. La cuarta propiedad es $$1-x/y = (1-(1-x)(1-1/y))(1-1/y).$$
Supongamos $x \notin \{0,1,\tfrac12\}$ y establezca $y=1-x$. Claramente $y \notin \{0,1,x\}$, por lo que podemos aplicar la cuarta propiedad para ver que $x^2-x+1 = 0$, y en particular de que D tiene en la mayoría de los 5 elementos. Puesto que el polinomio no tiene raíces en un campo de cinco elementos, de hecho la única división de los anillos de trabajo son las finito campos de tamaño 2 y 3 [donde la cuarta propiedad es vacuo] y el campo finito de tamaño 4 [donde la cuarta propiedad es satisfecho].
