$g^{ab}$ es el tensor métrico (Minkowski)
Estoy tratando de entender si esto es cierto:
$g^{ab}g_{ab}=?=g^{aa}g_{aa}$
Que tenga un buen día.
Respuestas
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sata
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Como una tercera perspectiva, pero equivalente, a las respuestas existentes: En caso de duda, siempre puedes volver a poner el sumatorio de forma explícita. (¡Sólo tienes que volver a sacarla una vez que entiendas la respuesta y antes de que te miren mal tus compañeros por no haber utilizado el sumatorio de Einstein!)
En su caso, tendría $$ \sum_a \sum_b g^{ab} g_{ab} = ? = \sum_a \sum_a g^{aa} g_{aa} \ \ \mathrm{(Nonsense!)} $$ lo que probablemente estará de acuerdo en que es una tontería. Usar el mismo índice ficticio en ambas sumas no tiene sentido. Si por el contrario, pretendes que sea $$ \sum_a \sum_b g^{ab} g_{ab} = ? = \sum_a g^{aa} g_{aa} \ \ \mathrm{(Nonsense!)}$$ con el entendimiento de que uno $a$ par se fija de haber hecho la suma en $b$ y uno es el índice ficticio de la suma restante, eso no es una interpretación aceptada de la notación con la suma explicada o en la convención de Einstein. Es intrínsecamente ambiguo lo que hay que sumar y lo que no si intentas hacerlo así.
Stefan
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21
Como señaló @G.Smith en su respuesta, $g^{aa}g_{aa}$ no tiene sentido.
Puede calcular $g^{ab}g_{ab}$ como un caso especial de subir y bajar los índices . Contratación de la $b$ índices primero se obtiene $$g^{ab}g_{ab}=\delta^a_a=...$$ Dejo el último paso como ejercicio para ti.
