Resolución proyectiva del álgebra exterior como módulo sobre el álgebra polinómica dividida

Question

Dejemos que $\Lambda_\mathbb{Z}[x]$ sea un álgebra exterior sobre un generador con $|x|=n$ , dejemos que $\Gamma_\mathbb{Z}[x]$ sea un álgebra polinómica dividida con $|x_k|= kn$ y supongamos que $\Lambda_\mathbb{Z}[x]$ es un módulo sobre $\Gamma_\mathbb{Z}[x]$ .

La multiplicación en $\Gamma_\mathbb{Z}[x]$ viene dada por $$ x_kx_l = {k+l \choose k }x_{k+l}. $$

Pregunta: Calcule una resolución proyectiva para $\Lambda_\mathbb{Z}[x]$ como un módulo sobre $\Gamma_\mathbb{Z}[x]$ .

Intento

Intento responder a esto sin una maquinaria demasiado técnica (construcción de barras/complejo de kozul, etc.). Voy a denotar $\mathbb{Z}_{x_k}$ una copia de los enteros generados por $x_k$ .

Cualquier ayuda con esto sería muy apreciada. Sólo me interesa el caso hasta $\mathbb{Z}_{x_4}$ ya que es todo lo que necesito para el cálculo.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Podemos seguir computando una resolución mínima libre como lo ha hecho. Si no me he equivocado, la respuesta, hasta el grado $4n$ es $\Gamma_\mathbb{Z}[x] \cdot \{\alpha_0, \beta_2, \gamma_3, \delta_4, \epsilon_3, \zeta_4, \eta_4, \theta_4\}$ donde el grado de cada elemento base es $n$ por el subíndice. Los diferenciales son: \begin{align*} d(\alpha_0) &= 1 \\ d(\beta_2) &= x_2 \alpha_0 \\ d(\gamma_3) &= x_3 \alpha_0 \\ d(\delta_4) &= x_4 \alpha_0 \\ d(\epsilon_3) &= 3\gamma_3 - x_1 \beta_2 \\ d(\zeta_4) &= 6\delta_4 - x_2 \beta_2 \\ d(\eta_4) &= 4\delta_4 - x_1 \gamma_3 \\ d(\theta_4) &= x_1 \epsilon_3 + 2\zeta_4 - 3\eta_4. \end{align*}