Grado de los mapas continuos de S1 a S1 - Dos propiedades equivalentes

Question

Entiendo lo que significa el grado de un mapa continuo $f$ de $S^1$ a $S^1$ . Si dejamos que $[S^1, S^1]$ denotan el conjunto de clases de homotopía de los mapas continuos de $S^1$ a $S^1$ resulta que el mapa de grados da una biyección desde $[S^1, S^1]$ a los enteros. Esto también me parece bien.

Mi problema es que he oído que este hecho de biyección es equivalente a lo siguiente: El mapa de grado de $C(S^1,S^1)$ a los enteros es un mapa continuo, y siempre que $deg(f_0) = deg(f_1)$ existe un camino en $C(S^1,S^1)$ de $f_0$ a $f_1$ .

¿Cómo son equivalentes las dos nociones? No tengo un buen conocimiento (o intuición) de los mapas continuos de $C(S^1,S^1)$ a los números enteros, y cómo eso está relacionado con la modulación de funciones por homotopía.

(Puede suponer que tengo conocimientos previos equivalentes a los del capítulo 9 de Munkres)

Answer 1

Si levantas el mapa $f\colon S^1\to S^1$ a un mapa $\tilde f\colon \Bbb R\to\Bbb R$ entonces el grado viene dado por $\dfrac{\tilde f(2\pi)-\tilde f(0)}{2\pi}$ y se puede construir fácilmente un camino que una dos mapas del mismo grado tomando la homotopía rectilínea entre sus respectivos ascensores.

Answer 2

Sugerencia:Deja que $z\in \Bbb Z$ y $deg:C(S^1,S^1)->\Bbb Z$ Entonces $deg^{-1}$ ({ $z$ })={el conjunto de los mapas en $C(S^1,S^1)$ que envuelven el $S^1$ $z$ veces}. Demostrar que $deg^{-1}$ ({ $z$ }) está conectada y abierta => está conectada a la ruta. Por lo tanto, si $deg(f_0)=deg(f_1)$ entonces hay un camino desde $f_0$ a $f_1$ .