Demuestre que los manifolds euclidianos, esféricos e hiperbólicos son LAS únicas geometrías tridimensionales que son homogéneas e isótropas.

Question

El libro Introducción a la Topología de C. Adams y R. Franzosa dice :

Sólo hay tres geometrías tridimensionales que son homogéneas e isótropas: la euclidiana, la esférica y la hiperbólica.

Se ha escrito sin más, sin dar ni siquiera una pequeña razón/explicación, y mucho menos una prueba de ello.

¿Cuál es la prueba rigurosa más fácil para la mencionada afirmación del libro?

EDIT - Para las definiciones de espacios homogéneos e isótropos, lo cito del mismo libro:

Ser isotrópico significa que en cada punto la geometría parece ser la misma en todas las direcciones alrededor del punto. No hay una dirección preferente identificable. Esta es una propiedad que el espacio euclidiano 3 $E^3$ tiene, por ejemplo. Sin embargo, si formamos una geometría tomando $S^2 \times E$ Por ejemplo, esa geometría tiene un comportamiento diferente en distintas direcciones.

Ser homogéneo significa que localmente la geometría del espacio es la misma misma. Dados dos puntos cualesquiera del espacio, existe una isometría (un homeomorfismo que preserva la distancia) desde una vecindad de un punto a una vecindad del otro.

Gracias.

Answer 1

Dados los 2 planos tangentes $P \subset T_p M, Q \subset T_q M$ existe una isometría $f$ tomando $p$ a $q$ y luego usando eso $M$ es isotrópico recoge una isometría local tomando $df_p(P^\perp)$ a $Q^\perp$ Esto requiere $df_p(P)$ a $Q$ . Por lo tanto, tenemos una isometría local que lleva cualquier plano 2 tangente a otro. Por tanto, la curvatura seccional es constante. Si $M$ está simplemente conectado, debe ser una de las tres geometrías que mencionas. Sin embargo, $M$ no tienen por qué estar simplemente conectados; $M = \Bbb{RP}^n$ con la métrica redonda es un espacio isótropo homogéneo, por ejemplo. Tal vez simplemente conectado es exigido por su definición de "geometría".