Por qué el anillo de cociente $R/R$ es el anillo cero $\{ 0\}$ ?

Question

Ya existe una pregunta similar. Anillos de factores $R/R$ y $R/0$

Por supuesto, lo he leído. Sin embargo todavía no sé, cómo y por qué el anillo de cociente $R/R$ es el anillo cero. Por lo tanto, pido su ayuda para comprobar mi lógica de pensamiento.

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En mi opinión, parece ser $R/R=R$ .

La definición del anillo de cociente es $R/P=\{r+P|r \in R\}$ .

Así que, $R/R=\{r+R|r \in R\}$ . Hace $r+R$ hacer todo el elemento de $R$ ?

Y si $R$ es un anillo conmutativo con identidad, ¿es un resultado diferente?

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Creo que tengo un gran problema con esa lógica, pero estoy ciego para encontrarla. Espero que tu vista sea más brillante.

Gracias de antemano.

Answer 1

Los elementos del anillo cociente $R/P$ son clases de equivalencia de elementos en $R$ . Es decir, dos elementos diferentes $r_1, r_2 \in R$ producen la misma clase en $R/P$ si $r_1 - r_2 \in P$ . Esto es equivalente a la definición que escribiste arriba.

Ahora $R/0 = R$ porque $r_1, r_2 \in R$ están en la misma clase en $R/0$ sólo si $r_1 - r_2 = 0$ lo que significa que $r_1 = r_2$ . Como resultado, cada elemento está en su propia clase, y no hay dos elementos diferentes que sean iguales. Así, $R/0$ tiene exactamente el mismo aspecto que $R$ .

Sin embargo, para dos elementos cualesquiera $r_1, r_2 \in R$ sabemos que $r_1 - r_2 \in R$ . Así, en el anillo de cociente $R/R$ cada elemento está en la misma clase, por lo que sólo hay una clase. Esto significa que tenemos un anillo con un solo elemento -- el anillo cero.

Answer 2

Lo primero que debes entender es lo siguiente:

$$ R/P:= \text{Set of equivalence classes where the relation is defined as $ r\sim s\iff (r-s)\in P $} $$ Ahora, lo que será $R/R$ ? Es el conjunto de clases de equivalencia de la relación anterior. Ahora afirmamos que sólo hay una clase y esa clase será $[0]$ clase. La respuesta intuitiva se da en el problema que enlazaste. Pero si quieres ser más preciso sólo tienes que mostrar lo siguiente:

$R/R=\{[0]\}$ .

Dejemos que $[r]=r+R\in R/R. \ [r]= r+R=0+(r+R)=[0] \implies R/R\subseteqq \{[0]\}.$ La otra inclusión es trivial.

Answer 3

Este es un ejemplo para el anillo $\mathbb{Z}/ 3\mathbb{Z}$ . Los elementos de este anillo cociente son los cosets $ n + 3\mathbb{Z}$ para $n \in \mathbb{Z}$ . ¿Qué aspecto tienen? $$\begin{aligned} 0 + 3\mathbb{Z} &= \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots\} \\ 1 + 3\mathbb{Z} &= \{\ldots, -5, -2, 1, 4, 7, \ldots\} \\ 2 + 3\mathbb{Z} &= \{\ldots, -4, -1, 2, 5, 8, \ldots\} \end{aligned}$$

Así que este anillo tiene al menos tres elementos distintos. ¿Hay más? Podemos comprobar que $$\begin{aligned} 3 + 3\mathbb{Z} &= \{\ldots, -3, 0, 3, 6, 9, \ldots\} \\ &= \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots\} \\ &= 0 + 3\mathbb{Z} \end{aligned}$$

Demostrando que los cosets $0 + 3\mathbb{Z}$ y $3+\mathbb{Z}$ son iguales, y de hecho cualquier coset es uno de los tres mencionados anteriormente.

Ahora, lo que sucede para $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ ? Es fácil ver que para cualquier $n \in \mathbb{Z}$ el coset $n + \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ y, por tanto, el cociente sólo tiene un elemento (llámese 0) con las reglas que $ 0+0=0 $ y $0 \times 0 = 0$ . Así que el cociente es el anillo cero.

Answer 4

Dejemos que $N \leqslant M$ ser módulos. $M/N = 0$ si $M = N$ . $\Leftarrow$ fácil, ver los comentarios. $\Rightarrow$ Dejemos que $x \in M \notin N$ . Pero $x + N = 0 + N$ si $x - 0 = x \in N$ por definición submódulo $N$ .

Ahora aplique lo anterior al $R$ -Módulo $R$ (un anillo). Los ideales son precisamente los $R$ -submódulos.

Así lo hemos demostrado para dos estructuras a la vez.