A) Hay resultados antiguos que implican directamente la existencia de tales grupos:
(1) Boone Higman 1972: todo grupo f.g. con problema de palabras resoluble se incrusta en un subgrupo simple de un grupo finitamente presentado.
(2) Todo grupo contable con problema de palabras soluble se incrusta en un grupo f.g. con problema de palabras soluble (¿referencia? la construcción original de HNN funciona directamente ya que consiste en amalgamas explícitas - alternativamente aquí Ph. Hall produjo en los años 50 un grupo metabélico explícito de 3 generaciones con problema de palabras soluble, con copias de $\mathbf{Q}$ ).
b) Un ejemplo más explícito es el grupo $\tilde{T}$ obtenida como el conjunto de autohomogeneizaciones de $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ desplazamientos con $\sigma:n\mapsto n+1$ que son afines a trozos con pendientes diádicas y puntos de ruptura.
El centro de $\tilde{T}$ es el grupo cíclico infinito $\langle\sigma\rangle$ y el cociente se identifica naturalmente con el grupo de Thompson $T$ que es un grupo simple finitamente presentado. Los subgrupos propios normales de $\tilde{T}$ son precisamente los subgrupos de $\langle\sigma\rangle$ .
Si $Q$ es cualquier copia de $\mathbf{Q}$ en $\tilde{T}$ se deduce que la imagen de $Q$ en $T$ no es central (ya que $\mathbf{Q}$ no tiene ningún cociente cíclico no trivial). Por lo tanto, lo mismo ocurre en cada cociente no trivial de $\tilde{T}$ .
Por último, que $\tilde{T}$ contiene una copia de $\mathbf{Q}$ (e incluso el continuo de muchos ejemplares) es una observación original de Belk, Matucci, Hyde ( arXiv ).
( La otra respuesta está estrechamente relacionado ya que se refiere a un grupo simple finitamente presentado más complicado que contiene $\tilde{T}$ . El grupo $\tilde{T}$ no está finitamente presentada pero tiene suficientes subgrupos normales para que se cumpla la condición).
