Expectativa condicional del segundo momento de Poisson

Question

Para $X_i$ iid $Poisson(\lambda)$ Me cuesta evaluar $\mathbb{E}\big[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2|\sum_{i=1}^nX_i\big]$ . Desde esta pregunta Sé que $E(X_j|\sum_{i=1}^nX_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ . También he demostrado que $\mathbb{E}[X^2]=\lambda^2+\lambda$ pero no estoy seguro de dónde ir ahora.

Answer 1

Consideremos la distribución condicional de $X_1$ dado $n \bar X$ , donde $\bar X$ es la media de la muestra. Sabemos que en el caso de $n = 2$ para las tarifas generales $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , esto es un binomio; por ejemplo, $$\Pr[X_1 = x \mid X_1 + X_2 = s] = \frac{\Pr[X_1 = x]\Pr[X_2 = s-x]}{\sum_{k=0}^s \Pr[X_1 = k]\Pr[X_2 = s-k]} = \binom{s}{x} \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^x \left(1 - \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^{s-x},$$ por lo que por inducción en $n$ fácilmente conseguimos $$\Pr[X_1 = x \mid n\bar X = s] = \binom{s}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, \quad p = \frac{1}{n}.$$ De ello se deduce que la varianza de $Y = X_1 \mid n\bar X$ es simplemente $sp(1-p) = s(n-1)/n^2$ por lo que el segundo momento de $Y$ es $$\operatorname{E}[X_1^2 \mid n\bar X = s] = \frac{s(s+n-1)}{n^2}.$$ Ahora por la linealidad de la expectativa, $$\operatorname{E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 \operatorname{\Bigg|} n\bar X\right] = \frac{n\bar X (n\bar X + n - 1)}{n^2} = \bar X \left(\bar X + 1 - \frac{1}{n}\right).$$

Answer 2

Escriba $t(X_1,...,X_n) := \sum_i X_i$ . Entonces puedes utilizar el teorema del multinomio para encontrar que la probabilidad de que $t$ es un valor fijo es $\frac{\lambda^t\cdot n^t}{e^{\lambda\cdot n}t!}$ . Por lo tanto, tenemos

$$E[X_1^2| t] = \frac{t!}{n^t}\sum_{\sum x_i = t}\frac{x_1^2}{x_1!...x_n!} = \frac{t!}{n^t}\sum_{x_1 = 0}^t\frac{x_1^2}{x_1!}\sum_{\sum_{i\geq 2}x_i = t-x_1}\frac{1}{x_2!...x_n!} = $$

$$ \frac{t!}{n^t}\sum_{x_1 = 0}^t\frac{x_1^2}{x_1!}\cdot \frac{(n-1)^{t-x_1}}{(t-x_1)!}$$

donde he utilizado el teorema multinomial en la última igualdad. Esto es lo mismo que

$$ \frac{t!}{n^t}\sum_{x = 1}^t\frac{x^2}{x!}\cdot \frac{(n-1)^{t-x}}{(t-x)!}= \frac{t!}{n^t}\sum_{x = 1}^t\frac{x}{(x-1)!}\cdot \frac{(n-1)^{t-x}}{(t-x)!} = \frac{t!}{n^t}\sum_{x = 0}^{t-1}\frac{(x+1)}{x!}\cdot \frac{(n-1)^{(t-1)-x}}{((t-1)-x)!}$$

$$= \frac{t!}{n^t}\sum_{x = 0}^{t-1}\frac{x}{x!}\cdot \frac{(n-1)^{(t-1)-x}}{((t-1)-x)!} + \frac{t!}{n^t}\sum_{x = 0}^{t-1}\frac{1}{x!}\cdot \frac{(n-1)^{(t-1)-x}}{((t-1)-x)!}=$$

$$ \frac{t!}{n^t}\sum_{x = 0}^{t-2}\frac{1}{x!}\cdot \frac{(n-1)^{(t-2)-x}}{((t-2)-x)!} + \frac{t!}{n^t}\sum_{x = 0}^{t-1}\frac{1}{x!}\cdot \frac{(n-1)^{(t-1)-x}}{((t-1)-x)!} $$ Ahora bien, si multiplicamos la primera suma por $\frac{(t-2)!}{(t-2)!}$ y el segundo por $\frac{(t-1)!}{(t-1)!}$ y utilizando el teorema del binomio obtenemos

$$ \frac{t!}{n^t\cdot (t-2)!}\sum_{x = 0}^{t-2} {(n-1)^{(t-2)-x}}{t-2\choose x}+ \frac{t!}{n^t\cdot (t-1)!}\sum_{x = 0}^{t-1} {(n-1)^{(t-1)-x}}{t-1\choose x}=$$

$$\frac{t!\cdot n^{t-2}}{n^t\cdot (t-2)!}+\frac{t!\cdot n^{t-1}}{n^t\cdot (t-1)!}$$

o $$\frac{t^2-t+tn}{n^2} $$

que coincide con la respuesta de heropup.