¿Puedes mantener esta rifa justa?

Question

Así que hay un sorteo de coches en mi zona. Hay 3221 participantes en el sorteo. El ganador se decide por un síndico que saca cada dígito de un bombo distinto. Así, del primer bombo sale el 0-3, del segundo el 0-9 (lo mismo ocurre con el tercer y el cuarto bombo). Así que si saco el 0-4-0-7 el ganador es el poseedor del boleto 407.

Mi primera sospecha fue que los que tienen un billete de 3 mil tienen más posibilidades de ganar, corregidme si me equivoco. Si es el caso de que la probabilidad es torcida entonces ¿cómo se puede mantener este sorteo justo? Manteniendo el concepto de sacar dígitos de un bombo.

Si esto no es posible, ¿podría alguien dar sugerencias sobre otros métodos de sorteo que podrían funcionar? No obstante, poner todos los billetes en un solo cubo no es una opción.

Gracias.

Answer 1

Que la rifa sea justa o no, depende de cómo se saque el boleto. Digamos que extraigo, de las cuatro casillas diferentes, los números $3, 5, 1, 0$ . Se trata de un número no válido, por lo que no se puede asignar el precio. Si simplemente reinicio todo el procedimiento, extrayendo cada vez cuatro números hasta que aparezca un número válido, entonces cada participante tiene la misma probabilidad de ganar.

Sin embargo, también podemos empezar a dibujar de izquierda a derecha, y sólo volver a dibujar el número que dio lugar a una secuencia no válida. Tenga en cuenta que el primer número siempre es válido, pero la validez del segundo número depende del primero: si primero dibujé un $3$ No puedo sacar el número $3$ a $9$ . En efecto, en este caso, la probabilidad de que una persona al azar cuyo número de billete empiece por $3$ tiene una probabilidad de:

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{222} = \frac{1}{888} > \frac{1}{3221}$$

de ganar la rifa. Tenga en cuenta que, con este procedimiento, las dos personas que tienen los boletos $3220$ y $3221$ tienen la mayor probabilidad de ganar el sorteo:

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{72}$$

Answer 2

Desgraciadamente, 3221 es primo, por lo que no hay forma de conseguir un sorteo perfectamente justo extrayendo un número fijo y finito de veces sucesivamente de tambores con menos de esa cantidad de elementos en cada uno.

Sin embargo, si está dispuesto a seguir extrayendo al azar de un tambor que contiene los dígitos 0-9 hasta que se cumpla una de las tres reglas de parada, puede obtener cada uno de los números 0-3220 con igual probabilidad (de $\ \frac{1}{3221}\ $ ). Normalmente sólo tendrá que sacar 4 o 5 veces, pero con la probabilidad exponencialmente decreciente puede que tenga que seguir sacando más y más dígitos.

Después de dibujar $\ r\ $ dígitos $\ d_1, d_2, \dots, d_r $ , calcula la fracción decimal $\ D_r = \sum_{i=1}^r \frac{d_i}{10^i}\ $ . Las reglas de parada son:

• Si $\ D_r + \frac{9}{10^{r+1}} < \frac{1}{3221}\ $ Llama al número sorteado para que sea $\ 0\ $ .
• Si $\ D_r > \frac{3220}{3221}\ $ Llama al número sorteado para que sea $\ 3220\ $ .
• Si $\ D_r > \frac{i}{3221}\ $ y $\ D_r + \frac{9}{10^{r+1}} < \frac{i+1}{3221}\ $ para algunos $\ i\in \left\{1,2,\dots,3219\right\}\ $ Llama al número sorteado para que sea $\ i\ $ .

Por supuesto, se puede llevar a cabo un procedimiento similar utilizando una base diferente para la fracción, y cuanto mayor sea la base elegida, menor será el número esperado de sorteos necesarios.

La razón por la que esto funciona es que si se sigue dibujando para siempre, el número $\ D = \sum_{i=1}^\infty \frac{d_i}{10^i}\ $ se distribuirá uniformemente en el intervalo unitario. Por lo tanto, para cualquier $\ i\in\left\{0,2,\dots,3220\right\}\ $ , $\ \mathrm{Prob}\left(\frac{i}{3221} < D < \frac{i+1}{3221}\right) = \frac{1}{3221}\ $ . Pero una vez que se haya cumplido uno de los criterios de la regla de parada, se sabrá con certeza cuál de estos 3221 eventos ha ocurrido.

Las probabilidades de que $4, 5, 6, \dots$ los sorteos serán suficientes son $\ 0.678, 0.9678, 0.99678, \dots$ y así sucesivamente, y el número esperado de sorteos necesarios es $4+\frac{3220}{9000} \approx4.36\ $ .