¿Cómo puedo resolver este límite? $\lim_{x\to 0}{x-\sin(\sin(...(\sin x)))\over x^{3}}$

Question

Tengo el siguiente límite : $$\large \lim_{x\to 0}{x-\sin(\sin(\overbrace {\cdot \ \cdot \ \cdot }^n(\sin(x))\overbrace {\cdot \ \cdot \ \cdot }^n))\over x^{3}}$$ $\sin(\sin(...(\sin(x))...))$ -es n veces.
No tengo ni idea. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias.

Answer 1

En una vecindad del origen tenemos $$ \sin(x)= x-\frac{x^3}{6}+O(x^5) \tag{1}$$ por lo tanto, aplicando $\sin(\cdot)$ a ambos términos y explotando las fórmulas de suma de senos y $(1)$ obtenemos $$ \sin\sin(x) = x-\frac{x^3}{3}+O(x^5) \tag{2}$$ así como $$ \sin\sin\sin(x) = x-\frac{x^3}{2}+O(x^5)\tag{3} $$ y $$ \sin^{[n]}(x) = x-\frac{nx^3}{6}+O(x^5)\tag{4} $$ por inducción. Se deduce que: $$ \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin^{[n]}(x)}{x^3} = \color{red}{\frac{n}{6}}\tag{5}$$

Answer 2

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)\cos(\sin(x))......\cos(\sin(\sin..(\sin(x)....))}{3x^2}$$

Esto tiende a $\frac {0}{0}$ Vuelve a utilizar L'Hospital

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)(\cos(\sin(x))......\cos(\sin(\sin..(\sin(x)....)))+\sin(\sin(x)(.......)}{6x}$$

Básicamente, dará $\sin(x)$ términos orientados a proporcionarle una $\frac{0}{0}$ de nuevo. Nota: El numerador tiene $n$ términos

Ahora, de nuevo. cuando uses L'hospital, te dará $n$ términos que serán $\cos(x)$ orientado. Así, cuando $x\rightarrow 0$ Estos términos serán $\rightarrow1$

dándole :

$$\frac{n}{6}$$ como respuesta final

Answer 3

Reescribamos \begin{align} \frac{x-\sin^{[n]}x}{x^3}&=\frac{x-\sin x+\sin x-\sin\sin x+\ldots+\sin^{[n-1]} x-\sin^{[n]} x}{x^3}=\\ &=\frac{x-\sin x}{x^3}+\frac{\sin x-\sin\sin x}{x^3}+\ldots+\frac{\sin^{[n-1]}x-\sin^{[n]}x}{x^3} \end{align} y calcular el límite de cada fracción por separado.

1. Desde $$ \sin t=t-\frac{t^3}{6}+o(t^3) $$ tenemos la primera fracción igual que $$ \frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{\frac{x^3}{6}-o(x^3)}{x^3}=\frac16+o(x)\to\frac16. $$
2. Del mismo modo, con la notación $y=\sin^{[k-1]}x$ el $k$ -La fracción de la misma es $$ \frac{\sin^{[k-1]}x-\sin^{[k]}x}{x^3}=\frac{y-\sin y}{x^3}=\frac{y-\sin y}{y^3}\cdot\frac{y^3}{x^3}=\left(\frac16+o(y)\right)\cdot\left(\frac{y}{x}\right)^3\to\frac16\cdot 1^3=\frac16 $$ porque $$ \frac{y}{x}=\frac{\sin^{[k-1]}x}{x}=\frac{\sin^{[k-1]}x}{\sin^{[k-2]}x}\cdot\frac{\sin^{[k-2]}x}{\sin^{[k-3]}x}\cdot\ldots\cdot\frac{\sin x}{x}\to1\cdot 1\cdot\ldots\cdot 1=1. $$
3. Finalmente el límite es $$ \underbrace{\frac16+\frac16+\ldots+\frac16}_{n\text{ times}}=\frac{n}{6}. $$