Encuentre el valor de $\theta$ en paralelogramo $ABCD$ .

Question

Pregunta:

Si $ABCD$ es un paralelogramo entonces encuentra el ángulo $\theta$ en grados.

Lo que he probado:
Supuse que $BD$ una línea recta ya que no creo que se pueda resolver esta cuestión si $BD$ no es una línea recta. (Estaré contento si alguien resuelve esto sin esta suposición)

Construcción: Drew $EF$ perpendicular a ( $CD$ y $AB$ ) y $GH$ a ( $BC$ y $AD$ ).

$$\angle DAO=\angle DCO=y$$ Alternar los ángulos interiores: $$\angle BDA=\theta\\\angle ABD=40^\circ$$

Por la propiedad de la suma de ángulos: $$\angle DOG=90^\circ-\theta\\\angle GOA=90^\circ-y\\\angle AOF=70^\circ\\\angle FOB=50^\circ\\\angle BOH=90^\circ-\theta\\\angle HOC=70^\circ\\\angle COE=90^\circ-y\\\angle EOD=50^\circ$$ Sumando todo esto y equiparando a $360^\circ$ : $$240^\circ+360^\circ-2\theta-2y=360^\circ$$ $$\theta+y=120^\circ$$

Después de esto, dibujé líneas paralelas a ( $AD$ y $BC$ ) y ( $AB$ y $CD$ ) a través de $O$ pero no se ha obtenido el valor de $\theta$ .

¿Cómo se resuelve esta cuestión? ¿Puede resolverse?

Gracias.

Answer 1

La suposición no es necesaria. Construir $P$ en el paralelo a $AB$ por $O$ tal que $PAD\cong OBC$ . Entonces $\angle PDA = 20°$ pero $\angle POA = \angle OAB = 20 °$ Así que $AODP$ es cíclico. Pero entonces $\angle CBO = \angle DAP = \angle DOP = \angle CDO = 40°$ .

Answer 2

La siguiente solución supone $BD$ es una línea recta.

Ampliar $AO$ de tal manera que se intersecte con $BC$ en $X$ y ampliar $CO$ de tal manera que se intersecte con $AB$ en $Y$ . Entonces $\angle AOY+\angle OAB=\angle OYB=\angle OCB+\angle CBA\implies \angle AOY=\angle COX=100^{\circ}-\theta$ . Entonces $\angle AXB=120^{\circ}-\theta$ y la suma de ángulos en $\triangle BOX$ da $\angle BOX=\angle AOD=60^{\circ}$ . Así que $\angle COB=160^{\circ}-\theta$ .

Que la altura $EF$ ser como en el intento de OP. Supongamos que $OE:OF=m:n$ . Por triángulos similares, $OE:OF=DO:BO=CO:OY=CD:BY=AO:OX=AD:BX=m:n$ y $CO:AO=OX:OY=CX:AY$ desde $\triangle COX \sim \triangle AOY$ . Ahora, $CO:OY=AO:OX\implies CO:AO=OY:OX$ pero $CO:AO=OX:OY$ Así que $OY:OX=OX:OY\implies OX^2=OY^2\implies OX=OY$ . Por lo tanto, $AO=CO$ y $\triangle BOC\cong\triangle BOA$ .

Así, $\theta=40^{\circ}$ .