Localmente lipschitz en $[a,b]$ implica que lipschitz

Question

Supongamos una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es localmente Lipschitz. Demostrar que $f$ es Lipschitz en $[a,b]$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora: Que $[a, b]$ sea algún intervalo cerrado y acotado. Como f es localmente Lipschitz, para cada $x\in[a; b]$ Podemos encontrar algunos $U_x$ y algunos $M_x$ tal que $|f(y)-f(z)| < M|x-y|$ . Sea $\mathcal{U}$ denota la colección de todos los vecindarios abiertos de este tipo $U_x$ . Entonces $\mathcal{U}$ es una cubierta abierta de $[a, b]$ . Por el Teorema de Heine-Borel, $[a, b]$ es compacto, por lo que $\mathcal{U}$ tiene una subcubierta finita, \mathcal{V}. Etiquetar los miembros de $\mathcal{V}$ como $U_{x_1}, U_{x_2},\ldots,U_{x_n}$ . Entonces $[a, b]$ y para cada $U_{x_k}$ asociamos el correspondiente $M_{x_k}$ tal que si $y, z\in U_{x_k}$ entonces $|f(y)-f(z)|< M_{x_k}|y-z|$ . Sea $M = \max\{M_{x_1},\ldots,M_{x_n}\}$ . Sean y y z algunos puntos en $[a, b]$ con z < y. Si tanto y como z se encuentran en la misma vecindad en $\mathcal{V}$ Entonces, hemos terminado.

Hasta aquí llegué. No sé cómo manejar el caso cuando $y$ y $z$ están en diferentes barrios.

Answer 1

Muy buen trabajo hasta ahora.

Por el lema de cobertura de Lebesgue, existe $\delta >0$ s.t. si $x,y$ satisfacer $|x-y|<\delta$ entonces hay $k$ s.t. $x ,y \in U_{x_k}$ .

Dejemos que $x<y$ . Elija $x=x_1\leq x_2 \leq \dots \leq x_n = y$ s.t. $|x_i - x_{i+1}| < \delta$ . Entonces tenemos $|f(x)-f(y)| \leq |f(x_1) -f(x_2)| + |f(x_2) -f(x_3)|+\dots + |f(x_{n-1}) - f(x_n)| \leq \sum_i M |x_i-x_{i+1}| = M|x-y|$