1 a la potencia del infinito, ¿por qué es indeterminado?

Question

Me han enseñado que $1^\infty$ es un caso indeterminado. ¿Por qué es así? ¿No es $1*1*1...=1$ ¿las veces que lo multiplicarías? Así que si tomas un límite, digamos $\lim_{n\to\infty} 1^n$ ¿no converge a 1? Entonces, ¿por qué no existe el límite?

Answer 1

No lo es: $\lim_{n\to\infty}1^n=1$ exactamente como usted sugiere. Sin embargo, si $f$ y $g$ son funciones tales que $\lim_{n\to\infty}f(n)=1$ y $\lim_{n\to\infty}g(n)=\infty$ Es decir, es no necesariamente cierto que

$$\lim_{n\to\infty}f(n)^{g(n)}=1\;.\tag{1}$$

Por ejemplo, $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e\approx2.718281828459045\;.$$

De manera más general,

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{an}=e^a\;,$$

y como $a$ abarca todos los números reales, $e^a$ abarca todos los números reales positivos. Finalmente,

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n^2}=\infty\;,$$

y

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{\sqrt n}=0\;,$$

por lo que un límite de la forma $(1)$ siempre tiene que ser evaluado por sus propios méritos; los límites de $f$ y $g$ no determinan por sí mismos su valor.

Answer 2

El límite de $1^{\infty}$ existe: $$\lim_{n\to\infty}1^n$$ no es indeterminado. Sin embargo, $$\lim_{a\to 1^+,n\to\infty}a^n$$ es indeterminado..

Answer 3

Hay muchas razones. Por ejemplo, que $1^\infty=1$ . Tomando el logaritmo, se tiene $\infty\cdot 0=0$ . Del mismo modo, para otras operaciones obtendrá algunos absurdos.

Answer 4

La respuesta corta es que es porque $x^y$ puede tender a cualquier límite no negativo como $x\to1$ y $y\to\infty$ . Por ejemplo, consideremos el límite clásico $$\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac xn\Bigr)^n=e^x.$$