Encuentra el límite de $\frac{n^4}{\binom{4n}{4}}$ como $n \rightarrow \infty$

Question

$\frac{n^4}{\binom{4n}{4}}$

$= \frac{n^4 4! (4n-4)!}{(4n)!}$

$= \frac{24n^4}{(4n-1)(4n-2)(4n-3)}$

$\rightarrow \infty$ como $n \rightarrow \infty$

Sin embargo, la clave de respuesta dice que

$\frac{n^4}{\binom{4n}{4}}$

$= \frac{6n^3}{(4n-1)(4n-2)(4n-3)}$ esta es la parte que no entiendo

$\rightarrow \frac{6}{32}$

¿Cómo se ha simplificado el numerador a $6n^3$ ?

Answer 1

Usted tiene, como $n \to \infty$ , $$ \frac{n^4}{\binom{4n}{4}}=\frac{n^4 4! (4n-4)!}{(4n)!}=\frac{\color{red}{24n^4}}{\color{red}{4n}(4n-1)(4n-2)(4n-3)}=\frac{\color{red}{6n^3}}{(4n-1)(4n-2)(4n-3)}. $$

Answer 2

Tienes un pequeño error con el coeficiente binomial:

$$\frac{n^4}{\binom{4n}4}=\frac{4!n^4(4n-4)!}{(4n)!}=\frac{24n^4}{4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{24}{256}=\frac3{32}$$

Answer 3

Una pista: $$ \begin{align} \frac{n^4}{\binom{4n}{4}} &=\frac{n^4}{\frac{4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)}{4!}}\\ &=\frac{n^4}{\frac{4^4n^4\left(1-\frac1{4n}\right)\left(1-\frac2{4n}\right)\left(1-\frac3{4n}\right)}{4!}}\\ &=\frac{4!}{4^4}\frac1{\left(1-\frac1{4n}\right)\left(1-\frac2{4n}\right)\left(1-\frac3{4n}\right)} \end{align} $$

Answer 4

Vale la pena generalizar el límite dado: para los enteros positivos $m$ ,

$$\begin{align*} a_n(m) &= \frac{n^m}{\binom{mn}{m}} \\ &= \frac{n^m m! \, (m(n-1))!}{(mn)!} \\ &= \frac{n^m m!}{(mn)(mn-1)\cdots(m(n-1)+1)} \\ &= \prod_{k=1}^m \frac{nk}{m(n-1) + k} \\ &= \prod_{k=1}^m \frac{k}{m + (k-m)/n}\end{align*}.$$ En consecuencia, $$\lim_{n \to \infty} a_n(m) = \prod_{k=1}^m \lim_{n \to \infty} \frac{k}{m+(k-m)/n} = \prod_{k=1}^m \frac{k}{m} = \frac{m!}{m^m}.$$