Dejemos que $SL_2(\mathbb C)$ como conjunto de $2\times2$ matrices complejas con determinante $1$ , consideremos como subespacio del espacio métrico $M_2(\mathbb C)$ de $2\times2$ matrices complejas. Demostrar que $SL_2(\mathbb C)$ es un camino conectado.
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Veamos el problema de forma más general. Supongamos que $A$ es una matriz cuadrada, y $B$ se obtiene de $A$ añadiendo un múltiplo de $i$ a la fila de $j$ La tercera fila ( $i\ne j$ ). Como usted sabe, $\det B=\det A$ . Una observación clave para este problema es que todas las matrices en la línea que pasa por $A$ y $B$ tienen el mismo determinante. En efecto, cada uno de ellos se obtiene a partir de $A$ de la manera mencionada.
Lo anterior funciona igual para las columnas, por supuesto.
Utilizando las operaciones de fila/columna descritas anteriormente, puede traer cualquier $SL_n$ matriz $A$ a la forma diagonal $D$ . Esto da lugar a una trayectoria lineal a trozos desde $A$ a $D$ , acostado en $SL_n$ .
Una matriz diagonal puede conectarse a la identidad de la siguiente manera: conecte cada entrada diagonal $a_{jj}$ a $1$ por alguna curva $\gamma_j$ en $\mathbb C\setminus \{0\}$ y considerar la matriz con diagonal $$\left(\gamma_1(t),\dots,\gamma_{n-1}(t),\prod_{j=1}^{n-1}\gamma_j(t)^{-1}\right)$$
