Resolver el sistema de ecuaciones no lineales

Question

De verdad $x,y,z>0$ resolver el sistema de ecuaciones

\begin{cases} \dfrac{1}{x}-3 y+4 z=5,\\ \dfrac{1}{y}-4 z+5 x=3,\\ \dfrac{1}{z}-5 x+3 y=4, \end{cases} Es fácil comprobar que
$$ x =\frac 1 5, y= \frac 1 3, z=\frac 1 4 $$

es una solución.

¿Cómo podría demostrar que no hay ninguna otra solución real?

Editar. Sumando todas las ecuaciones obtenemos $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=12. $$

Answer 1

Una posibilidad es calcular $S$ -a partir de los polinomios dados, es decir $$ 25x + 9y + 16z - 12=0, \\ 24yz + 16z^2 - 32z + 5 =0. $$ Entonces podemos eliminar $x$ y $y$ y sustituir en las tres ecuaciones originales. Obtenemos $$ (64z^3 - 80z^2 - 52z + 5)(4z - 1)=0. $$ Aunque aquí tenemos todas las raíces reales, vemos que la única solución real positiva es la dada anteriormente.

Answer 2

Eliminando $y,z$ obtenemos para $x$ : $$125 x^4-60 x^3-58 x^2+18 x=1$$

Answer 3

Multiplica la primera ecuación por $5x$ el segundo por $3y$ el tercero por $4z$ . Luego suma los tres. Esto le da $25x + 9y + 16z = 12$ . Ahora bien, este es claramente un resultado intermedio útil. Por ejemplo, puedes sustituirlo en las ecuaciones originales para eliminar una variable. Así se obtienen seis nuevas relaciones:

[1] $4/x -25x - 21y = 8$ ;

[2] $3/x + 25x + 28z = 27$

[3] $5/y - 9y - 36z = 3$

[4] $4/y + 9y + 45x = 24$

[5] $5/z + 16z + 24y = 32$

[6] $3/z - 16z - 40x = 0$

A partir de las ecs. $1$ , $3$ y $6$ obtenemos estos límites: $0 < x < \frac {2}{5}$ ; $0 < y < \frac {1}{3} \sqrt{5}$ ; $0 < z < \frac {1}{4} \sqrt{3}$ .

Eliminación de $y$ de las ecs. $1$ , $4$ [o alternativamente $z$ de las ecs. $2$ , $6$ ] se obtiene una ecuación de cuarto orden para $x$ . Del mismo modo, las expresiones de cuarto orden para $y$ y $z$ se puede derivar.