Conjugados de un $r$ -ciclo en $S_n$

Question

¿Cuántos conjugados tiene un ciclo de longitud $r$ tienen en el grupo de permutación $S_n$ ?

Intenté encontrarlos pero no lo conseguí.

Answer 1

Se puede demostrar que $a$ y $b$ son conjugados en $S_n$ si admiten descomposiciones de ciclo con las mismas longitudes de ciclo (la prueba se puede encontrar fácilmente, por ejemplo, mirar aquí ). Así, dos ciclos son conjugados si tienen la misma longitud.

Para contar todos los ciclos de longitud $r$ en $S_n$ puede proceder de la siguiente manera. Deje que $S_n$ actuar $\{1,2,3,\dots,n\}$ . En primer lugar, elija cualquier subconjunto de tamaño $r$ - hay $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ de ellos. A continuación, elija una permutación cíclica de estos últimos - hay $(r-1)!$ de ellos. Combinando, obtenemos $\frac{n! (r-1)!}{r! (n-r)!} = \frac{n!}{r (n-r)!}$ .