Calcular el límite $\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{4n + \sin \sqrt{n} + \cos (\frac{1}{n^2}) + 17}$

Question

Estoy tratando de calcular este límite:

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{4n + \sin \sqrt{n} + \cos (\tfrac{1}{n^2}) + 17}$$

Entiendo que debería utilizar el teorema de squeeze pero estoy teniendo algunos problemas para aplicarlo a esta fórmula en particular.

Answer 1

$n>6:$

$$n^{\frac{1}{n}}\leq(4n+15)^{\frac{1}{n}}\leq \left(4n+\sin \sqrt{n}+\cos \frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}\leq (4n+19)^{\frac{1}{n}}\leq n^\frac{2}{n}$$

Answer 2

Este límite llega a 1. Si tienes cualquier polinomio $P$ entonces $$\lim_{n\to\infty} |P(n)|^{1/n} = 1.$$ Como su radicando está acotado por un polinomio superior e inferior, su límite es 1.

Answer 3

$\lim \limits_{n \to +\infty} \sqrt[n]{4n + \sin \sqrt{n} + \cos (\tfrac{1}{n^2}) + 17}$

$4n+15 \le 4n + \sin \sqrt{n} + \cos (\tfrac{1}{n^2}) + 17 \le 4n+19$

$\sqrt[n]{4n+15} \le \sqrt[n]{4n + \sin \sqrt{n} + \cos (\tfrac{1}{n^2}) + 17} \le \sqrt[n]{4n+19}$

$\lim \limits_{n \to +\infty} \sqrt[n]{4n+15} \le \lim \limits_{n \to +\infty} \sqrt[n]{4n + \sin \sqrt{n} + \cos (\tfrac{1}{n^2}) + 17} \le \lim \limits_{n \to +\infty} \sqrt[n]{4n+19}$

Answer 4

$$ \begin{aligned} \lim _{n\to \infty }\left(\left(4n\:+\:\sin \sqrt{n}\:+\:\cos \left(\frac{1}{n^2}\right)\:+\:17\right)^{\frac{1}{n}}\right) & = \lim _{n\to \infty }\exp\left[\frac{\ln\left(4n\:+\:\sin \sqrt{n}\:+\:\cos \left(\frac{1}{n^2}\right)\:+\:17\right)}{n}\right] \\& \approx \lim _{n\to \infty }\exp\left[\frac{\ln\left(4n\:\right)}{n}\right] \\& = \color{red}{1} \end{aligned} $$