Pregunta sobre el conjunto de medidas cero de las condiciones iniciales en los sistemas dinámicos

Question

[Actualización] Dejemos $S \subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto cerrado, acotado y convexo con medida $m(S)>0$ y que un sistema dinámico autónomo (sistema de EDOs) esté dado por

$$\frac{dx}{dt} = f(x),$$

donde $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ Cada uno de ellos $f_i$ es una función polinómica y $x$ toma valores en $S$ . El sistema presenta una función potencial (acotada) $V$ (la derivada temporal no es positiva y es cero en los equilibrios y $S$ es invariante del flujo.

Me gustaría afirmar que partiendo de una condición inicial genérica en $S$ (todo menos un medida cero conjunto de condiciones) el sistema converge a un equilibrio y los valores propios del jacobiano correspondiente tienen parte real no positiva. ¿Es esto cierto? Si la afirmación no es cierta, ¿hay algún contraejemplo sencillo?

Answer 1

[Actualizado] Primero hay que asumir que $V$ desaparece en algún conjunto no vacío $T\subset S$ . De lo contrario, $\dot{x}=-x^3$ , $V(x)=x^2$ y $S=[1,2]$ es un contraejemplo.

Ahora asumo que $T$ es no vacía. Entonces la respuesta a la primera pregunta es afirmativa, siempre que el $S$ es invariante del flujo (de lo contrario, tome un punto de silla de montar y elija un tubo alrededor de su eigenvector estable). Si $S$ es invariante del flujo, entonces el sistema converge asintóticamente a algún punto en $T$ . Esto se denomina principio de invariancia.

En cualquier caso, no veo por qué hay que mencionar aquí los conjuntos de medidas cero.

La respuesta a la segunda pregunta es sí. Si hay un valor propio positivo, el sistema no es localmente estable a lo largo de la dirección del vector propio correspondiente. Esto se llama el método indirecto de Lyapunov (que esencialmente dice que se puede utilizar una expansión en serie de Taylor y reducir al caso lineal).