Hallazgo

Question

Si $x_1,x_2,\ldots,x_8$ son las raíces de la ecuación:

$$x^8-13x^2+7x-6=0$ $ entonces cómo llegar

$$x_1^8+x_2^8+\cdots+x_8^8$$

Answer 1

Uso identidad de Newton, o un caso particular, adecuada para el polinomio determinado a mano. Tienes para todos $i$ $$ x_i ^ 8 13x_i ^ 2 + 7x_i - 6 = 0. Suma de $$ $i$ para conseguir $$ S - 13 Q -48 = 0, $$ donde $S = x_1^8+x_2^8+\cdots+x_8^8$ es su suma, $Q = x_1^2+x_2^2+\cdots+x_8^2$, y hemos utilizado el hecho de que en un polinomio $$x^8 - a_1 x^7 + a_2 x^6 - \dots,\tag{pol}$% $ a_1 de $ the coefficient $es la suma de las raíces.

También, en % (pol) $a_2$es la suma de lo $x_i x_j$ $i < j$. Ahora $Q = a_1^2 - 2 a_2 = 0$ aquí.

Así $S = 48$.

Answer 2

$x^8-13x^2+7x-6=\prod_{k=1}^8(x-x_k)$, en el que el coeficiente de $x^7$ es $-\sum_{k=1}^8x_k$, que $\sum_{k=1}^8x_k=0$. El coeficiente de $x^6$ es $\sum_{1\le i<k\le 8}x_ix_k$, así

$$0=\left(\sum_{k=1}^8x_k\right)^2=\sum_{k=1}^8x_k^2+2\sum_{1\le i<k\le 8}x_ix_k=\sum_{k=1}^8x_k^2+0\;,$$

y $\sum_{k=1}^8x_k^2=0$. Por lo tanto,

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^8x_k^8&=\sum_{k=1}^8\left(13x_k^2-7x_k+6\right)\\ &=13\sum_{k=1}^8x_k^2-7\sum_{k=1}^8x_k+48\\ &=48\;. \end{align*} $$

Answer 3

Si $r_i, 1\le i\le 8$ es las raíces de la ecuación dada

la aplicación de fórmulas de Vieta, $S_1=\sum r_i=0,\sum_{i\ne j}r_ir_j=0$ y así sucesivamente.

Ahora aplicar la fórmula de Newton de suma de potencias de las raíces,

Si $S_n=\sum{r^n} , S_{n+8}-13S_{n+2}+7S_{n+1}-6S_{n}=0$ si $n\ge 0$ mas en cuenta el coeficiente de $S_n$ $0$

Por ejemplo, $S_0=8$