1-1 correspondencia entre $\text{Hom}_k (U,V)$ al conjunto de todos los $m \times n$ matrices

Question

$\text{Hom}_k (U,V)$ representa el conjunto de todos los mapas lineales de $U \rightarrow V$ . $U$ y $V$ son de dimensión finita.

¿Cómo definiría la correspondencia entre este conjunto y el conjunto $K^{m,n}$ de todos $m \times n$ matrices sobre $K$ ?

Answer 1

Bases de selección $\{u_1,\cdots,u_n\}$ para $U$ y $\{v_1,\cdots,v_m\}$ para $V$ .

La matriz $A=[a_{ij}]$ define una transformación lineal $T_A:U\to V$ por $f(u_i)=\sum_j a_{ij}v_j$ . Esto nos da $f(u)$ para todos $u\in U$ mediante la "extensión lineal";

$$ f(c_1u_1+\cdots+c_nu_n)=c_1f(u_1)+\cdots+c_nf(u_n).$$

Esto da un mapa $K^{m,n}\to \hom(U,V)$ . A la inversa, dada una transformación lineal $T:U\to V$ podemos evaluarlo en cada vector base $u_i$ y descomponer cada $f(u_i)\in V$ utilizando la base de $V$ decir como $f(u_i)=\sum_j a_{ij}v_j$ que determina una matriz $[a_{ij}]$ . Esto proporciona un mapa $\hom(U,V)\to K^{m,n}$ inversa a la otra.