Prueba del límite épsilon-delta: Desigualdad Arccos(x)

Question

Estoy estudiando una prueba de Cálculo con apuntes (demostrando que $\lim_{x \to 1} \cos(x) = \cos(1)$ de la definición de límite).

El texto dice que obtenemos de:

$\cos(1) \epsilon < \cos(x) < \cos(1) + \epsilon$

Para:

$\arccos(\cos(1) + \epsilon) < x < \arccos(\cos(1) \epsilon).$

No entiendo por qué no debería ser simplemente:

$\arccos(\cos(1) - \epsilon) < x < \arccos(\cos(1) + \epsilon).$

Así que la pregunta es por qué los términos ( $\cos(1) + \epsilon$ y $\cos(1) - \epsilon$ ) se "intercambian". Puedo ver en otros ejemplos con la función sin(x) que esto no sucede, cuando resolvemos usando arcsin(x).

Answer 1

Una pista. Para $y \in [0,1)$ tenemos $$ (\arccos(y))'=-\frac1{\sqrt{1-y^2}}<0 $$ por lo que la función es disminuyendo en este set.

Answer 2

O utilizando teorema del valor medio para $f(x) = \cos x$ en $[1,x]$ $\to |\cos x - \cos 1| = |-\sin \theta|\cdot |x-1|\leq |x-1|$ . Así, para $\epsilon > 0$ dado, elija $\delta = \epsilon$ entonces la prueba es la siguiente.

Answer 3

Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Desde $\cos x = \int_{t=0}^{x}-\sin t$ para todos $x \neq 0$ y como $$ |-\int_{t=0}^{x}\sin t + \int_{t=0}^{1}\sin t| = |\int_{x}^{1}\sin t| \underset{\text{by the MVT for integrals}}{=} |\sin c||x-1| < \varepsilon $$ si $|x-1| < \varepsilon/|\sin c|$ , hemos terminado.

Answer 4

Sin necesidad de utilizar el cálculo se puede demostrar fácilmente que $\arccos x$ es una función decreciente de $x$ . Esto es simplemente porque la función inversa $\cos x$ también es decreciente en el intervalo $[0, \pi]$ .

Para ver por qué $\cos x$ es decreciente observe que $$\cos a - \cos b = 2\sin((a + b)/2)\sin((b - a)/2)$$ y como $a, b\in [0, \pi]$ se deduce que $(a + b)/2 \in [0, \pi]$ para que $\sin((a + b)/2) \geq 0$ y claramente $|(b - a)/2| \leq \pi/2$ para que $\sin ((b - a)/2)$ tiene el mismo signo que $(b - a)$ . De ello se desprende que $\cos a - \cos b$ tiene el mismo signo que el de $(b - a)$ . Por lo tanto, si $a > b$ entonces $\cos a < \cos b$ .

Hemos utilizado los resultados elementales de la trigonometría y el hecho de que el signo de $\sin x$ es el mismo que el de $x$ si $|x| \leq \pi/2$ .

Ahora debe quedar claro que $\arccos x$ está disminuyendo en $[-1, 1]$ y por lo tanto si $a, b \in [-1, 1]$ avec $a < b$ entonces $\arccos a > \arccos b$ .