Confusión sobre el dominio de los operadores no limitados (espacios de Hilbert)

Question

Entiendo que un operador acotado (lineal) $A$ en un espacio de Hilbert $H$ cumple una condición $||Av|| \le c ||v|| $ para algún número real fijo $c$ y para todos $v \in H$ . Así, el dominio de un operador acotado es todo $H$ .

1. Es de suponer que un operador no limitado no satisface este requisito de alguna manera. Por otra parte, algunas referencias parecen considerar que "no limitado" es "no necesariamente limitado", por ejemplo, en nLab, https://ncatlab.org/nlab/show/unbounded+operador En particular, todo operador acotado $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ es un operador no limitado", Entonces, ¿un operador no limitado es sólo un operador con un dominio específico?
2. Por lo que he leído, un operador no limitado tiene un dominio $D(A) \subset H$ a menudo se considera que es denso en $H$ . No me queda claro si un operador no acotado está o no acotado en su dominio. Sospecho que no ya que el teorema del grafo cerrado dice que un operador cerrado definido en todo el espacio está acotado lo que sugiere la existencia de operadores no cerrados definidos para todo el espacio que no están acotados.

Answer 1

1. Parece que se utilizan ambas convenciones. En mi mundo, la clase de operadores no limitados incluye la clase de operadores limitados. Creo que es una convención muy común, aunque quizá sería más preciso referirse a esos operadores como "operadores parcialmente definidos". Me sorprendí bastante cuando leí la descripción de la etiqueta en este sitio, ya que nunca antes había visto que la clase de operadores no limitados se definiera de forma que excluyera a los operadores limitados. Por otro lado, es difícil refutar la solidez de tal convención.
2. Cualquier operador no acotado y densamente definido que esté acotado en su dominio se extiende de forma única a un operador acotado en el espacio de Hilbert completo. Por tanto, cualquier operador cerrado que no esté definido en todo el $H$ no está necesariamente acotado en su dominio. Sin embargo, cualquier operador no acotado A está acotado en su dominio con respecto a la norma del grafo $\lVert x \rVert_A = \lVert Ax \rVert + \lVert x \rVert$ y $\mathrm{Dom}(A)$ es completa con respecto a la norma del grafo si y sólo si $A$ está cerrado. De este modo, la acotación juega un papel crucial en la teoría de los operadores no acotados.

Answer 2

1) "En particular todo operador acotado $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ es un operador no limitado". Esto es cuanto menos confuso. Parece decir que los operadores acotados son un subconjunto de los operadores no acotados, pero esa no es la terminología habitual AFAIK.

2)Por ejemplo, la multiplicación por $n$ definido en vectores en $l^2(N)$ con un número finito de componentes no nulos es ilimitado.