¿Existe una variedad hiperbólica cerrada de tres dimensiones que sea localmente rígida en el espacio de todas sus estructuras conformes planas? Si es así, ¿podría alguien dar ejemplos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
-
Dejemos que $M$ sea una 3manifold hiperbólica compacta y sea $C(M)$ sea el espacio de moduli de las estructuras conformes planas en $M$ . La métrica hiperbólica en $M$ define un punto distinguido $h\in C(M)$ . Uno dice que $h$ es localmente rígido (en $C(M)$ ) si $h$ es un punto aislado de $C(M)$ . Por el teorema de holonomía de Thurston, la rigidez local de $h$ es equivalente a la rigidez local de la representación holonómica $\rho_h$ de $h$ en $$ Rep(M):= Hom(\pi_1(M), O(4,1))/O(4,1).$$
-
Dejemos que $\Gamma< O(3,1)$ sea la imagen de $\rho_h$ (es una red uniforme sin torsión en $O(3,1)$ ). El grupo $O(3,1)$ y, por lo tanto, $\Gamma$ actúa naturalmente en el espacio de Lorentz ${\mathbb R}^{3,1}$ . Una condición suficiente para la rigidez local de $\rho_h$ en $Rep(M)$ es la desaparición del primer grupo de cohomología $$ H^1(M; {\mathcal F})\cong H^1(\Gamma; {\mathbb R}^{3,1}), $$ donde ${\mathcal F}$ es un sistema local en $M$ determinado por la acción de $\Gamma$ en ${\mathbb R}^{3,1}$ .
Una representación $\rho_h$ se llama infinitesimalmente rígido si este grupo de cohomología desaparece.
Esto es lo que se sabe:
Teorema. Existen 3manifolds hiperbólicos orientados compactos $M$ para lo cual $H^1(M; {\mathcal F})=0$ . Por lo tanto, para tales variedades, $h$ es localmente rígido en $C(M)$ .
Los primeros ejemplos (o, más bien, la existencia de ejemplos) se obtuvieron como cirugía de Dehn en nudos hiperbólicos de 2 puentes, [1]: Un número infinito de cirugías de Dehn da lugar a variedades infinitesimales rígidas. Estas variedades eran no-Haken. Más tarde, en [2] se construyeron ejemplos de variedades hiperbólicas de Haken infinitesimalmente rígidas (donde la superficie incompresible es cuasifuchsiana). En [5] se demostró que para cada nudo de 2 puentes, todas las cirugías de Dehn, salvo algunas finitas, dan lugar a variedades infinitesimales rígidas. En [6], los autores realizaron un estudio numérico exhaustivo de $H^1(M; {\mathcal F})$ para los 3-manifolds hiperbólicos. Determinaron que de las primeras 4500 variedades de 2 generadores en el censo de Hodgson-Weeks, sólo 61 no son infinitesimalmente rígidas.
Esto es lo que se desconoce:
Pregunta 1. ¿Existen 3manifolds hiperbólicos compactos no Haken $M$ para lo cual $h$ no es localmente rígido en $C(M)$ ?
Pregunta 2. ¿Existen 3-manifolds hiperbólicos compactos $M$ para lo cual $H^1(M; {\mathcal F})\ne 0$ pero $h$ es localmente rígido en $C(M)$ ?
Dada una clase de cohomología no nula $c\in H^1(M; {\mathcal F})$ hay una secuencia infinita de obstáculos para "integrar" $c$ en una curva en $Rep(M)$ tangente a $c$ . Se sabe que la primera de estas obstrucciones (el producto de copa) desaparece, [2], pero las obstrucciones superiores (productos de Massey) son un misterio. Hay una evidencia convincente (procedente del estudio de las deformaciones proyectivas de las estructuras hiperbólicas, [7]) de que la pregunta 2 tiene respuesta positiva.
Las preguntas 1 y 2 están estrechamente relacionadas, ya que Scannell, [3], demostró que para una variedad "Fibonacci" no Haken $M$ , $H^1(M; {\mathcal F})\ne 0$ . Todavía no conocemos la rigidez local en este caso.
Pregunta 3. ¿Existe una hiperbólica compacta $3$ -manifold $M$ para lo cual $C(M)=\{h\}$ es decir $h$ es globalmente rígido ?
Lo más probable es que las operaciones de Dehn en nudos de 2 puentes tengan esta propiedad, pero es difícil de probar.
Pregunta 4. ¿Qué características topológicas/geométricas de un manificio hiperbólico de tres $M$ son responsables de la desaparición/no desaparición de $H^1(M; {\mathcal F})$ ¿respecto a la rigidez/flexibilidad local de la estructura hiperbólica?
Desde el principio, Bill Thurston se dio cuenta de que cualquier hipersuperficie cerrada y totalmente geodésica en $M$ produce deformaciones conformes planas de la métrica hiperbólica no triviales. Por otra parte, como demostró Scannell, no basta con tener una superficie cuasifuchsiana incompresible. Se puede conjeturar que si $M$ contiene una superficie cuasifucsiana incrustada que es "casi totalmente geodésica" (como en el trabajo de Kahn y Marković), entonces $h$ no es localmente rígido en $C(M)$ . Una forma más débil de esta conjetura es:
Conjetura. Dejemos que $M$ sea una 3manifold hiperbólica compacta. Entonces $M$ admite una secuencia de coberturas finitas $M_i\to M$ de manera que los rangos de $H^1(M_i; {\mathcal F})$ divergen hasta el infinito.
Se sabe que esto es cierto para algunas clases de variedades aritméticas (originalmente, para el tipo más simple, debido a Millson, pero también para otros tipos aritméticos por Clozel y otros), pero se desconoce para 3-manifolds aritméticos hiperbólicos arbitrarios.
Pregunta 5. ¿Cuál es el "análogo correcto" de las laminaciones geodésicas medidas por Thurston que son responsables de las deformaciones no triviales de la estructura hiperbólica $h$ en $C(M)$ ?
Las pruebas apuntan a unos "objetos laminares no identificados" que, como conjuntos, son uniones disjuntas de geodésicas completas y de superficies totalmente geodésicas con límite geodésico; deberían estar dotados de una especie de estructura métrica-medida transversal. Véase [8] para algunos resultados parciales en esta dirección.
[1] M. Kapovich, Deformations of representations of discrete subgroups of SO(3,1), Math. Ann. 299 (1994), 341-354.
[2] M. Kapovich y J. J. Millson, On the deformation theory of representations of fundamental groups of compact hyperbolic 3-manifolds, Topology 35 (1996), 1085-1106.
[3] K. Scannell, Infinitesimal deformations of some SO(3,1) lattices. Pacific J. Math. 194 (2000), no. 2, 455-464.
[4] K. Scannell, Local rigidity of hyperbolic 3-manifolds after Dehn surgery. Duke Math. J. 114 (2002), no. 1, 1-14.
[5] S. Francaviglia, J. Porti, Rigidez de representaciones en SO(4,1) para rellenos de Dehn en nudos de 2 puentes. Pacific J. Math. 238 (2008), no. 2, 249-274.
[6] D. Cooper, D. Long, M. Thistlethwaite. Computing varieties of representations of hyperbolic 3-manifolds into SL(4,ℝ). Experiment. Math. 15 (2006), no. 3, 291-305.
[7] D. Cooper, D. Long, M. Thistlethwaite. Flexing closed hyperbolic manifolds. Geom. Topol. 11 (2007), 2413-2440.
[8] A. Bart, K. Scannell, A note on stamping. Geom. Dedicata 126 (2007), 283-291.
