Demostrar o refutar la afirmación para la lógica modal normal más pequeña

Question

He llegado al siguiente problema:

Sea n $\geq$ 1 y $\phi_1 \dots \phi_n$ son fórmulas modales:

Demuestra o refuta que lo siguiente es equivalente:

$\bullet$ Al menos uno de los $\phi_1 \dots \phi_n$ es de la lógica modal normal más pequeña ( K )

$\bullet$ $\square \phi_1 \lor \square \phi_1 \dots \lor \square \phi_n $ es de la lógica modal normal más pequeña ( K ).

He llegado a que la declaración es verdadero pero no puedo demostrarlo formalmente (en términos de lógica modal). ¿Algún consejo?

Answer 1

Estoy de acuerdo en que es cierto. La dirección de avance es fácil (si $\phi_i$ es un teorema de K, entonces también lo es $\square \phi_i$ por necesidad, que implica la disyunción).

Para el sentido inverso es útil considerar la afirmación contrapuesta: supongamos que para todo $i$ , $\phi_i$ es no un teorema de K, y queremos demostrar que $\square \phi_1 \lor \cdots \lor \square \phi_n$ es no un teorema de K. Aquí es útil pensar en términos de estructuras de Kripke. Para cada $i$ porque $\phi_i$ no es un teorema, debe haber una estructura de Kripke $\mathcal{S}_i$ en qué mundo $w_i$ es un contraejemplo. Entonces podemos usar esto para construir un contraejemplo a $\square \phi_1 \lor \cdots \lor \square \phi_n$ : simplemente combina todas las estructuras de Kripke y añade un nuevo mundo $w$ que tiene flechas hacia $w_i$ para cada $i$ . La declaración $\square \phi_i$ es falso en $w$ porque $\phi_i$ es falso en $w_i$ y $w_i$ es un mundo posible de $w$ .

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P.D: Es importante entender lo que estamos mostrando aquí: que si $\square \phi_1 \lor \cdots$ es un teorema de K, entonces $\phi_i$ es un teorema de K para algún $i$ . Tomando el caso $n = 1$ lo que demostramos es que si $\square \phi_1$ es un teorema, entonces $\phi_i$ es un teorema. Esto no es lo mismo que decir que $\square \phi_1 \to \phi_1$ para cualquier $\phi_1$ que no es un principio de razonamiento válido en K. En otras palabras, lo que mostramos fue sólo para teoremas, no para una elección arbitraria de $\phi_1$ .