Esta pregunta fue motivado por esta relacionado: Cómo "lejos" de una forma diferencial es de un exterior del producto .
Deje $\mathbb{V}$ ser un espacio vectorial de dimensión $n$ con campo subyacente $\mathbb{F}$, y decir (por falta de un término mejor) que la cuña rango de una $k$-forma $$\phi \in \Lambda^k \mathbb{V}^*$$ is the minimum number $r$ for which there are exist wedge products $v_a^1 \wedge \cdots \wedge v_a^k$, $a = 1, \ldots, r$, of $1$-forms $v_a^b \in \mathbb{V}^*$, $b = 1, \ldots, k$, tal que $$\phi = \sum_{a = 1}^r v_a^1 \wedge \cdots \wedge v_a^k.$$ (Para mayor comodidad, se puede declarar el vacío de la suma de valor de la $0$ k-forma, de modo que la cuña rango de $0$$0$.)
En general, dada $\phi$, lo que es una manera eficaz de determinar su rango de cuña $r$?
Nos puede hacer un poco obvio observaciones: en Primer lugar, $r \leq \dim \Lambda^k \mathbb{V}^* = {{n}\choose{k}}$, pero en general es mucho más pequeña, y de todos modos para un valor distinto de cero $0$-, $1$- y $n$, $r = 1$, y la explotación de los naturales isomorfismo $\Lambda^{n - 1} \mathbb{V}^* \cong \mathbb{V} \otimes \Lambda^n \mathbb{V}^*$ da que lo mismo se aplica a un valor distinto de cero $(n - 1)$-formas.
Para $k = 2$ $2$forma $\phi$ ha cuña rango $1$ (es decir, es descomponible) iff $\phi \wedge \phi = 0$, y podemos aprovechar el isomorfismo $\Lambda^{n - 2} \mathbb{V}^* \cong \Lambda^2 \mathbb{V} \otimes \Lambda^n \mathbb{V}^*$. Además, si $n$ es incluso, la cuña rango de $\phi$ es exactamente $k$ fib $$\underbrace{\phi \wedge \cdots \wedge \phi}_k \neq 0 \qquad \text{but} \qquad \underbrace{\phi \wedge \cdots \wedge \phi}_{k + 1} = 0.$$ (Tal vez algo similar vale para la extraño $n$?)
En la mayor tensor de filas, la historia rápidamente se vuelve más complicado. Por ejemplo, si $\dim \mathbb{V} = 7$ (e $\mathbb{F}$ perfecto y $\text{char } \mathbb{F} \neq 2$), el tensor de rango de $3$forma $\phi$ es en la mayoría de las $5$ (esto ya parece no evidentes). Resulta que (al menos más de $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $r = 5$ fib el $\Lambda^7 \mathbb{V}^*$valores de forma bilineal $$(X, Y) \mapsto (i_X \phi) \wedge (i_Y \phi) \wedge \phi$$ is nondegenerate, but the rank of the bilinear form does not determine $r$ for all smaller values of $r$. Anyway, this particular property seems essentially unique to this $(n, k)$.
Hay una complicación adicional: La cuña rango de $k$-formulario no necesitan permanecer en el mismo en virtud de la extensión de la base de campo. Por ejemplo, si $\mathbb{F} = \mathbb{R}$, hay un $3$-forma (de hecho, en un abrir órbita de dichos formularios) cuya estabilizador en el retroceso de la acción de $GL(\mathbb{V}) \cong GL(6, \mathbb{R})$ $\Lambda^3 \mathbb{V}^*$ es exactamente $SU(3)$, y el $3$-formulario de cuña rango $4$. Cuando se ve como un elemento del complejo espacio vectorial $\mathbb{V} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$, sin embargo, ha de cuña rango $2$. Así, la estructura de la base de campo de $\mathbb{F}$ desempeña un (para mí) papel sutil, y muy posiblemente resulta que esta pregunta es fácil de responder con algebraicamente cerrado campos.
