Para los primos $p≡3\pmod 4$ , demuestre que $[(p−1)/2]!≡±1\pmod p$ .

Question

Sé que hay que usar el Teorema de Wilson y que cada elemento de la segunda mitad es congruente con el negativo de la primera mitad, pero no estoy seguro de cómo construir una prueba para ello.

Answer 1

$p-r\equiv -r\pmod p\implies r\equiv-(p-r)$

Por la singularidad, $r\le p-r$ o $2r\le p\implies r\le\frac p 2$

Así que, $1\le r\le \frac{p-1}2$ como $p$ es impar

Poner $r=1,2,3,\cdots,\frac{p-3}2,\frac{p-1}2$ nos encontramos con que,

$1\equiv-(p-1)$

$2\equiv-(p-2)$

...

$\frac{p-3}2\equiv-(p-\frac{p-3}2)=\frac{p+3}2$

$\frac{p-1}2\equiv-(p-\frac{p-1}2)=\frac{p+1}2$

Por lo tanto, hay $\frac{p-1}2$ pares así,

$(p-1)!=(-1)^{\frac{p-1}2}\left((\frac{p-1}2)!\right)^2$

Usando el teorema de Wilson, $(-1)^{\frac{p-1}2}\left((\frac{p-1}2)!\right)^2\equiv-1\pmod p$

Si $p\equiv3\pmod 4,p=4t+3$ para algún número entero $t$ ,

Así que, $\frac{p-1}2=2t+1$ que es impar, así que $(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$

$\implies \left((\frac{p-1}2)!\right)^2\equiv1\pmod p$

$\implies \left(\frac{p-1}2 \right)!\equiv\pm1\pmod p$

Answer 2

Recordemos que $\binom{p-1}{k}\equiv (-1)^k \pmod{p}$ (aplicar el hecho de que $p\mid \binom{p}{k}$ para $1\leq k\leq p-1$ y la fórmula recursiva para obtener los coeficientes binomiales).

Ahora tenemos $\frac{(p-1)!}{(\frac{p-1}{2})!(\frac{p-1}{2})!}\equiv\binom{p-1}{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}$ y por lo tanto $-1\equiv(p-1)!\equiv (-1)((\frac{p-1}{2})!)^2 \pmod{p}$ . Así que $(\frac{p-1}{2})!$ es una raíz cuadrada de 1 módulo $p$ Por lo tanto, es $\pm1$ .