Dejemos que M sea algún colector, y TM el haz tangente. Sea $\gamma : [a,b] \to M$ sea una curva suave en M definido en un intervalo en $\mathbb{R}$ . Sea $J$ sea otro intervalo en $\mathbb{R}$ que contiene 0. Una "deformación de $\gamma(t)$ con puntos finales fijos" es una curva $\overline{\gamma}:[a,b]\times J \to M : (t,\epsilon) \mapsto \overline{\gamma}_{\epsilon}(t)$ tal que
- $\overline{\gamma}_{0}(t)=\gamma(t), \forall t \in [a,b]$
- $\overline{\gamma}_{\epsilon}(a) = \gamma(a)$ y $\overline{\gamma}_{\epsilon}(b) = \gamma(b)$ para todos $\epsilon \in J$
Dejemos que L sea un lagrangiano, es decir, un mapa suave $L : TM \to \mathbb{R} : (p,\dot{p}) \mapsto L(p,\dot{p})$ .
Para $M = \mathbb{R}^n$ es sencillo demostrar que $\gamma$ cumple el principio variacional
$$\left. \frac{d}{d\epsilon} \right |_{\epsilon=0} \int_a^b L(\overline{\gamma}_{\epsilon}(t),\dot{\overline{\gamma}}_{\epsilon}(t)) dt = 0$$
para cada deformación de $\gamma$ si y sólo si $\gamma$ satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{p}}(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)) - \frac{\partial L}{\partial {p}}(\gamma(t),\dot{\gamma}(t)).$$
Mi pregunta
En muchas referencias (cualquier libro de mecánica geométrica), se afirma que esta equivalencia es válida en cualquier colector, no sólo en el caso euclidiano. Y en varios lugares (por ejemplo, en el libro de Marsden y Ratiu sobre mecánica geométrica) he visto que se puede demostrar en coordenadas. Sin embargo, esto sólo se hace para el caso en que $\gamma$ está contenida en un solo gráfico. Estoy tratando de probar, o buscando una referencia que pruebe, el caso general. Preferiblemente en coordenadas, o de una forma intrínseca relativamente "sencilla". ¿Puede alguien ayudarme con esto?
Mi intento
Digamos que queremos demostrar la siguiente dirección; dejemos que $\gamma : [a,b]\to M$ cumplen la ecuación de Euler-Lagrange. Es decir, cumple la ecuación en todos los gráficos. Queremos demostrar que la variación de la integral es 0.
Elija una cubierta de M y que $\gamma$ estar cubierto por 3 gráficos, como en la figura siguiente (copiada del libro "Geometric mechanics and symmetry" de Holm et al). A continuación, sus deformaciones (para un tamaño suficientemente pequeño $\epsilon$ ) también está cubierto por estos gráficos.
Representación de una curva y de las deformaciones cubiertas por 3 gráficos
Elija una de estas deformaciones. Entonces podemos dividirla en tres subcurvas definidas en los intervalos $[a,t_1],[t_1,t_2],[t_2,b]$ respectivamente, de manera que cada una de ellas esté contenida en un solo gráfico. Asimismo, podemos dividir la integral en tres integrales
\begin{align} \left. \frac{d}{d\epsilon} \right |_{\epsilon=0} \int_a^b L(\overline{\gamma}_{\epsilon}(t),\dot{\overline{\gamma}}_{\epsilon}(t)) dt =& \left. \frac{d}{d\epsilon} \right |_{\epsilon=0} \int_a^{t_{1}} L(\overline{\gamma}_{\epsilon}(t),\dot{\overline{\gamma}}_{\epsilon}(t)) dt \\ &+ \left. \frac{d}{d\epsilon} \right |_{\epsilon=0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\overline{\gamma}_{\epsilon}\nonumber(t),\dot{\overline{\gamma}}_{\epsilon}(t)) dt \\ &+ \left. \frac{d}{d\epsilon} \right |_{\epsilon=0} \int_{t_{2}}^b L(\overline{\gamma}_{\epsilon}(t),\dot{\overline{\gamma}}_{\epsilon}(t)) dt. \end{align}
En cada integral, podemos utilizar las coordenadas del gráfico adecuado. Sin embargo, para cada curva/deformación de este tipo en $\mathbb{R}^n$ los puntos finales no se fijarán, excepto en a y b . A partir de la demostración de la equivalencia en $M = \mathbb{R}^n$ se puede deducir que si una deformación arbitraria $\overline{g} : [T_1,T_2]\times J \to \mathbb{R}^n$ (no necesariamente con puntos finales fijos) cumple las ecuaciones E-L, entonces
\begin{align*} \left. \frac{d}{d\epsilon} \right |_{\epsilon=0} \int_{T_1}^{T_2} L(\overline{g}_{\epsilon}(t),\dot{\overline{g}}_{\epsilon}(t)) dt = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{p}}(g(t),\dot{{g}}(t)) \cdot \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \overline{g}_{\epsilon}(t)\right]_{T_1}^{T_2} \end{align*}
Esto se puede utilizar en la ecuación anterior para obtener
\begin{align} \left. \frac{d}{d\epsilon} \right |_{\epsilon=0} \int_a^b L(\overline{\gamma}_{\epsilon}(t),\dot{\overline{\gamma}}_{\epsilon}(t)) dt =& \left[ \frac{\partial L'}{\partial \dot{p}}(\gamma(t)',\dot{{\gamma}}'(t)) \cdot \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \overline{\gamma}'_{\epsilon}(t)\right]_{a}^{t_1} \\ &+ \left[ \frac{\partial L''}{\partial \dot{p}}(\gamma(t)'',\dot{{\gamma}}(t)'') \cdot \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \overline{\gamma}_{\epsilon}''(t)\right]_{t_1}^{t_2} \\ &+ \left[ \frac{\partial L'''}{\partial \dot{p}}(\gamma(t)''',\dot{{\gamma}}(t)''') \cdot \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \overline{\gamma}_{\epsilon}'''(t)\right]_{t_2}^{b} \end{align}
donde la torpe anotación '- denota que en cada término de la suma utilizamos una representación de coordenadas diferente de L , $\gamma$ y $\overline{\gamma}$ ya que pertenecen a cartas diferentes.
En el caso de que $M = \mathbb{R}^n$ podemos utilizar una sola carta, por lo que la suma se telescopia. Pero en una variedad general, la suma no es necesariamente telescópica debido a los diferentes mapas de coordenadas.
¿Hay alguna forma de arreglar esto?
