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Centro de un anillo isomorfo al anillo de endomorfismo del functor identidad

Tengo problemas para verificar lo siguiente (se trata de un autoestudio):

Existe un isomorfismo entre el centro de un anillo $A$ y el anillo de endomorfismos del functor de identidad de la categoría de (derecho) $A$ -módulos.

El mapa $\Psi\ \colon Z(A) \to \mathrm{End}(1_{Mod\ A})$ envía $a \in Z(A)$ a la multiplicación por $a$ (escribamos $\Psi(a) = \theta^{a}$ ). Esto no supone ningún problema.

Parece razonable definir el mapa inverso $\Xi\ \colon \mathrm{End}(1_{Mod\ A}) \to Z(A)$ como el envío de $ \eta \in \mathrm{End}(1_{Mod\ A})$ a $\eta_A(1)$ ya que de esto se obtiene fácilmente $\Xi \circ \Psi (a) = \Xi(\theta^a)=\theta^{a}_{A}(1)=1a=a$ .

Sin embargo, no veo por qué $\Psi \circ \Xi = 1_{\mathrm{End}(1_{Mod\ A})}$ . Desplegando, tenemos que demostrar que $\Psi \circ \Xi (\eta) = \theta^{\eta_A(1)} = \eta$ es decir, para cualquier derecho $A$ -Módulo $L$ necesitamos tener $\theta^{\eta_A(1)}_L = \eta_L$ . Estoy perdido en esto. He intentado encontrar los componentes adecuados en los que utilizar la naturalidad (así conseguí demostrar que $\eta_A(1)$ se encuentra en $Z(A)$ , que no era obvio para mí desde el principio), pero en vano.

Un poco de búsqueda en Google me llevó a esta entrada del blog por Q. Yuan (ver el "sub-ejemplo") donde la dirección del mapa $\Xi$ se deduce del hecho de que $A$ es un generador de $\mathrm{Mod}\ A$ . Sin embargo, no puedo ver explícitamente por qué (en la perspectiva adoptada allí, creo que esto es sólo reformular el problema que tengo) el levantamiento de un elemento central a un endomorfismo de $1_{\mathrm{Mod}\ A}$ es inversa a la composición de los dos isomorfismos con la inyección natural $\mathrm{End}(1_{\mathrm{Mod}\ A}) \to Z(\mathrm{End}_A(A))$ .

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Como se ha sugerido en los comentarios, divídelo en trozos.

Paso 1. El functor de identidad es el mismo que el functor $\text{Hom}_A(A, \text{_})$ por lo que sólo hay que conocer los endomorfismos de este último functor. Según Yoneda, los endomorfismos de este functor son los mismos que los endomorfismos de $A$ Esto es una pequeña trampa, ya que Yoneda se refiere al functor de conjuntos y no al functor de $A$ -por lo que hay que perseguir la prueba de Yoneda para ver que $A$ -Los endomorfismos lineales de este functor corresponden a $A$ -endomorfismos lineales de $A$ .

Paso 2. El $A$ -endomorfismos lineales de $A$ son $Z(A)$ . Este paso es fácil; claramente $Z(A)$ da lugar a $A$ -endomorfismos lineales de $A$ y cualquier endomorfismo está determinado por $f(1)$ que debe ser central.

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