¿existe alguna matriz unitaria que tenga un determinante que no sea $\pm 1$ o $\pm i$ ?

Question

Entiendo que el determinante de cualquier matriz unitaria es un valor absoluto de 1.

$|\det(U)|^2 = \overline{\det(U)}\det(U) =\det(U^*)\det(U) = \det(U^* U) = \det(I) = 1$

¿Existe alguna matriz unitaria que tenga un determinante que no sea $\pm 1$ o $\pm i$ ?

Por ejemplo, ¿existe alguna matriz unitaria tal que $\det(U) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i$ ...?

He creado matrices unitarias al azar y he calculado los determinantes, pero todos ellos son $\pm 1$ o $\pm i$

Answer 1

Considere

\begin{align*} A=\begin{pmatrix} e^{i\pi/8}&0\\ 0&e^{i\pi/8} \end{pmatrix} \end{align*}

Tenemos

\begin{align*} \begin{pmatrix} e^{i\pi/8}&0\\ 0&e^{i\pi/8} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} e^{-i\pi/8}&0\\\\N- 0&e^{-i\pi/8} \N - fin{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} , \fin{align*}

por lo que sí es unitario. Además, $\det(A)=e^{i\pi/4}$ .