Determinación del comportamiento asintótico de las matrices aleatorias con dimensiones de razón evanescentes

Question

Considere un $N\times K$ matriz aleatoria $X$ (definido en un espacio de probabilidad $(Ω,F,μ)$ ) con entradas i.i.d. de media y varianza cero $1/K$ .

Hay muchos resultados sobre el comportamiento asintótico de la distribución empírica de los valores propios de $XX^T$ o, más exactamente, el comportamiento asintótico de la transformada de Stieltjes de la matriz $XX^T$ (la ley Marcenko-Pastur), este resultado J. W. Silverstein, "Strong convergence of the empirical distribution of eigenvalues of large dimensional random matrices", J. Multivar. Anal. 54, 175-192 (1995), etc.

Ahora bien, todos los resultados asintóticos de matrices aleatorias que he visto (en este contexto) se derivan bajo el supuesto de que ambas dimensiones de la matriz $X$ crece hasta el infinito, pero con relación fija. Es decir, se supone que a medida que $K,N→∞$ arreglamos $N/K→c∈(0,∞)$ .

Mi pregunta es si hay algún resultado, en caso de que ambas dimensiones vayan al infinito pero con relación de desvanecimiento. Concretamente, ¿podemos decir algo respecto al comportamiento asintótico de, por ejemplo $$\frac{1}{N}\text{trace}(XX^T+I_N)^{−1}$$ donde $N/K→0$ . Tenga en cuenta que si $N$ es fija, entonces podemos utilizar fácilmente la SLLN para sacar conclusiones respecto al comportamiento asintótico de la transformación anterior.

Answer 1

Hay muchas formas de verlo, quizá la más sencilla sea la siguiente: dejemos que $W=XX^T/K$ . Calcula $E Tr W^k$ como $K,N\to\infty$ . La combinatoria es fácil - esencialmente, los únicos términos que sobreviven al paso al límite son los que involucran sólo términos diagonales de $W$ que convergen en $1$ . Esto demuestra que la medida empírica esperada de $W$ converge a una masa de dirac en $1$ . Por otra parte, por concentración para la medida empírica, esto es cierto para la propia medida empírica (esto se puede demostrar de nuevo por cálculos de momentos, por ejemplo, como en la demostración del lema 2.1.7 en el libro de Anderson-Guionnet-Zeitouni sobre RM, o bien utilizando directamente la desigualdad de Hoffman-Wielandt para mostrar la concentración). Este enfoque funcionará siempre que sus entradas posean todos los momentos. Si no es así, el enfoque puede modificarse, truncando las variables. Una alternativa sería utilizar las transformaciones de Stieltjes desde el principio.

Si $N<<\sqrt{K}$ entonces un enfoque más fácil es mostrar que los elementos diagonales se concentran alrededor de $1$ y que la suma de filas de los términos fuera de la diagonal converge a $0$ . Entonces utiliza el teorema del círculo de Gershgorin.