Encuentre la parte imaginaria de esta función holomórfica

Question

$f(z) = z\overline{z}+iv(x,y) = x^2+y^2 + iv(x,y)$ Tengo que encontrar $v$ por lo que desde $f$ es holomorfa satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann :

$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} = 2x \implies v =2xy + \phi(x) $

$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} = -2y = 2y + \phi'(x)\implies \phi'(x)=-4y \implies \phi(x) = -4xy+C \implies v = 2xy-4xy + C = -2xy + C.\;\;\;\;\;\; C\in \mathbb{C}$

pero hay un problema $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x \neq \frac{\partial ( -2xy + C)}{\partial y} = -2x$

Estoy muy confundido por favor puede alguien arrojar algo de luz sobre esta contradicción.

Gracias.

Answer 1

Se puede recablear Ecuaciones de Cauchy-Riemann en una sola ecuación $$\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0,$$ definiendo adecuadamente $\dfrac{\partial }{\partial z}$ y $\dfrac{\partial }{\partial \bar{z}}.$ Sin embargo, su función no satisface esta condición a menos que $\bar{z}=0$ . Por lo tanto, no es holomorfo.