Integral cuadrático-trigonométrica -- parte 3

Question

Problema

Esta es la continuación de estos otros dos posts: Integral cuadrático-trigonométrica , Integral cuadrático-trigonométrica -- parte 2 .

Estoy estudiando la siguiente integral

\begin{equation*} I_1(t)\triangleq\int_0^{t}\cos\left(c+b\tau+a\tau^2\right)\text{ d}\tau \end{equation*}

donde $c,b,a$ y $t$ son parámetros dados. Nótese que con respecto a los posts enlazados he cambiado la notación de los coeficientes del polinomio cuadrático dentro del coseno (he cambiado $a$ y $c$ ) y también ahora considero un problema más sencillo en el que el límite inferior de la integración es nulo. En aras de la simplicidad, restrinjo la atención al caso más simple $a\ge0$ .

Por un lado conozco la solución de la integral anterior en términos de las integrales de Fresnel, que es \begin{equation*}\begin{aligned} I_1(t)&=\left[\textrm{C}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)-\textrm{C}\left(\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)\right]\frac{\textrm{cos}\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}{\sqrt[+]{a}}\\ &\qquad\qquad-\left[\textrm{S}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)-\textrm{S}\left(\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)\right]\frac{\textrm{sin}\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}{\sqrt[+]{a}} \end{aligned} \end{equation*} donde $\sqrt[+]{\cdot}$ denota la raíz positiva (la he elegido en lugar de la negativa sólo por simplicidad), mientras que $\textrm{C}(\cdot)$ y $\textrm{S}(\cdot)$ son las integrales del coseno y del seno de Fresnel, es decir \begin{equation*} \textrm{C}(h)\triangleq \int_0^h \cos\left(\theta^2\right)\text{ d}\theta \qquad \textrm{S}(h)\triangleq \int_0^h \sin\left(\theta^2\right)\text{ d}\theta \end{equation*}

Por otro lado también conozco la solución de la integral más sencilla \begin{equation*}I_2(t)\triangleq \int_0^t \cos\left(c+b\tau\right)\text{ d}\tau\end{equation*} que es \begin{equation*} I_2(t)=\sin(bt)\frac{\cos(c)}{b}-\left[1-\cos(bt)\right]\frac{\sin(c)}{b} \end{equation*}

Dado que la segunda integral es el caso límite en el que $a=0$ Espero que \begin{equation*}\lim_{a\to0}I_1(t)=I_2(t)\end{equation*} pero en realidad no soy capaz de calcular el límite $\lim_{a\to0}I_1(t)$ sobre la solución presentada anteriormente.

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Pregunta

1) Mis soluciones $I_1(t)$ y $I_2(t)$ ¿son correctas?

2) ¿Es cierto que $\lim_{a\to0}I_1(t)=I_2(t)$ ? En caso afirmativo, ¿es posible demostrarlo calculando el límite \begin{equation*} \lim_{a\to0}\left[\textrm{C}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)-\textrm{C}\left(\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)\right]\frac{\textrm{cos}\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}{\sqrt[+]{a}}-\left[\textrm{S}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)-\textrm{S}\left(\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)\right]\frac{\textrm{sin}\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}{\sqrt[+]{a}} \end{equation*}

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Derivación de la solución de $I_2(t)$

\begin{equation*} \begin{aligned} I_2(t)&=\int_0^t \cos(c)\cos(b\tau)-\sin(c)\sin(b\tau) \text{d}\tau\\ &=\left[\int_0^{bt}\cos(h)\frac{\text{d}h}{b}\right]\cos(c)-\left[\int_0^{bt}\sin(h)\frac{\text{d}h}{b}\right]\sin(c)\\ &=\left[\sin(h)|_0^{bt}\right]\frac{\cos(c)}{b}-\left[-\cos(h)|_0^{bt}\right]\frac{\sin(c)}{b}\\ &=\sin(bt)\frac{\cos(c)}{b}-\left[1-\cos(bt)\right]\frac{\sin(c)}{b}\\ \end{aligned} \end{equation*}

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Derivación de la solución de $I_1(t)$

Dejemos que \begin{equation*} q_1\triangleq a \qquad q_2\triangleq -\frac{b}{2a} \qquad q_3\triangleq c-\frac{b^2}{4a} \end{equation*} así que \begin{equation*}\begin{aligned} I_2(t)&=\int_0^t \cos\left[q_1(\tau-q_2)^2+q_3\right]\text{ d}\tau\\ &=\left[\int_0^t \cos\left[q_1\left(\tau-q_2\right)^2\right]\text{d}\tau\right]\cos(q_3)-\left[\int_0^t \sin\left[q_1\left(\tau-q_2\right)^2\right]\text{d}\tau\right]\sin(q_3)\\ &=\left[\int_{-\sqrt[+]{q_1}q_2}^{\sqrt[+]{q_1}(t-q_2)} \cos(h^2)\frac{\text{d}h}{\sqrt[+]{q_1}}\right]\cos(q_3)-\left[\int_{-\sqrt[+]{q_1}q_2}^{\sqrt[+]{q_1}(t-q_2)} \sin(h^2)\frac{\text{d}h}{\sqrt[+]{q_1}}\right]\sin(q_3)\\ &=\left[\textrm{C}\left(\sqrt[+]{q_1}(t-q_2)\right)-\textrm{C}\left(-\sqrt[+]{q_1}q_2\right)\right]\frac{\cos(q_3)}{\sqrt[+]{q_1}} -\left[\textrm{S}\left(\sqrt[+]{q_1}(t-q_2)\right)-\textrm{S}\left(-\sqrt[+]{q_1}q_2\right)\right]\frac{\sin(q_3)}{\sqrt[+]{q_1}}\\ &=\left[\textrm{C}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)-\textrm{C}\left(\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)\right]\frac{\textrm{cos}\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}{\sqrt[+]{a}}\\ &\qquad\qquad-\left[\textrm{S}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)-\textrm{S}\left(\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)\right]\frac{\textrm{sin}\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}{\sqrt[+]{a}} \end{aligned}\end{equation*}

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Intento de calcular el límite

Sinceramente, no tengo ni idea de cómo calcular el límite. Lo único que soy capaz de escribir es lo siguiente \begin{equation*} \lim_{a\to0} I_1(t)=\lim_{a\to0}\left\{\frac{\Delta\textrm{C}}{\sqrt[+]{a}}\left[\cos(c)\cos\left(\frac{b^2}{4a}\right)+\sin(c)\sin\left(\frac{b^2}{4a}\right)\right]- \frac{\Delta\textrm{S}}{\sqrt[+]{a}}\left[\sin(c)\cos\left(\frac{b^2}{4a}\right)-\cos(c)\sin\left(\frac{b^2}{4a}\right)\right] \right\}\end{equation*} donde \begin{equation*}\begin{aligned} \Delta\textrm{C}&\triangleq\textrm{C}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)-\textrm{C}\left(\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)\\ \Delta\textrm{S}&\triangleq\textrm{S}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)-\textrm{S}\left(\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)\\ \end{aligned} \end{equation*} aquí los problemas que surgen cuando $a\to0$ son los siguientes:

1. $\Delta \textrm{C}/\sqrt[+]{a}$ , $\Delta \textrm{S}/\sqrt[+]{a}$ son formas indeterminadas $0/0$ que, si mi conjetura de que el resultado final es $I_2(t)$ deben converger a un límite finito;
2. $\cos(b^2/(4a))$ , $\sin(b^2/(4a))$ no existe, por lo que, si mi conjetura es cierta, deben desaparecer de la expresión con algún truco.

Probablemente haya alguna propiedad de las integrales de Fresnel (que en realidad desconozco) que pueda utilizarse para resolver el límite anterior.

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EDITAR

He hecho un progreso, pero todavía tengo algunos problemas.

Me he dado cuenta de que cuando $a\to0$ los ratios $\Delta \text{C}/\sqrt[+]{a}$ , $\Delta \text{S}/\sqrt[+]{a}$ se parece mucho a los derivados de $\textrm{C}(\cdot)$ y $\textrm{S}(\cdot)$ . En particular, si no me equivoco, \begin{equation*}\begin{aligned} \lim_{(\sqrt[+]{a} t)\to0} \frac{\Delta \textrm{C}}{\sqrt[+]{a}t}&=\lim_{(\sqrt[+]{a} t)\to0}\frac{\textrm{C}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)-\textrm{C}\left(\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}\right)}{\sqrt[+]{a} t} =\lim_{(\sqrt[+]{a} t)\to0}\frac{\textrm{C}\left(\sqrt[+]{a}t+\frac{bt}{2\sqrt[+]{a}t}\right)-\textrm{C}\left(\frac{bt}{2\sqrt[+]{a}t}\right)}{\sqrt[+]{a} t} \\ &=\frac{\text{d}\textrm{C}}{\text{d}h}\bigg|_{h=\frac{bt}{2\sqrt[+]{a}t}} =\cos\left[\left(\frac{bt}{2\sqrt[+]{a}t}\right)^2\right]= \cos\left(\frac{b^2}{4a}\right) \end{aligned} \end{equation*} y de la misma manera \begin{equation*}\begin{aligned} \lim_{(\sqrt[+]{a} t)\to0} \frac{\Delta \textrm{S}}{\sqrt[+]{a}t}= \sin\left(\frac{b^2}{4a}\right) \end{aligned} \end{equation*} Obsérvese que aquí estos dos resultados son bastante dudosos porque el punto $b/\sqrt[+]{a}t$ donde se evalúan las derivadas no se fija durante el cálculo del límite $\sqrt[+]{a}t\to0$ .

Answer 1

Esto no es una prueba.

He computado $I_1$ utilizando la convención $$\int \cos(x^2)\,dx=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\,\, C\left(x\sqrt{\frac{2}{\pi }} \right)$$ y obtuvo $$\sqrt{\frac{2 a}{\pi } }\,\, I_1=\cos \left(\frac{b^2-4ac}{4 a}\right) \left(C\left(\frac{b+2 a t}{\sqrt{2a \pi }}\right)-C\left(\frac{b}{ \sqrt{2a \pi }}\right)\right)+$$ $$\sin \left(\frac{b^2-4ac}{4 a}\right) \left(S\left(\frac{b+2 a t}{ \sqrt{2 a\pi }}\right)-S\left(\frac{b}{ \sqrt{2a \pi }}\right)\right)$$ y $$I_2=\frac{\sin (b t+c)-\sin (c)}{b}$$

Estos resultados son los mismos que los suyos.

Ahora, para el comportamiento de $I_1$ cuando $a\to 0$ Me encontré con los mismos problemas pero, en mi humilde opinión, esto no está relacionado con las integrales de Fresnel.

Al no poder ver ninguna forma de probarlo, hice un montón de recorridos al azar y $I_1 \to I_2$ es numéricamente siempre verdadera.

Utilizando $c=e$ , $b=\gamma$ , $t=\pi$ y $a=10^{-k}$ algunos resultados de la relación $\frac {I_1}{I_2}$ . $$\left( \begin{array}{cc} k & \frac {I_1}{I_2} \\ 2 & 0.96690423 \\ 3 & 0.99673868 \\ 4 & 0.99967437 \\ 5 & 0.99996744 \\ 6 & 0.99999674 \\ 7 & 0.99999967 \\ 8 & 0.99999997 \\ 9 & 1.00000000 \end{array} \right)$$

Answer 2

Creo que he encontrado una prueba, la idea es la siguiente: empezar observando que como $a\to0$ los argumentos de las integrales de Fresnel divergen al infinito, es decir \begin{equation*} \lim_{a\to0} \underbrace{\sqrt[+]{a}t+\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}}_{\triangleq h_1}=\infty \qquad \lim_{a\to0} \underbrace{\frac{b}{2\sqrt[+]{a}}}_{\triangleq h_2}=\infty \end{equation*} Esto significa que las integrales de Fresnel $\textrm{C}(\cdot)$ , $\textrm{S}(\cdot)$ pueden sustituirse por sus aproximaciones asintóticas \begin{equation*} \textrm{C}(h)\approx\sqrt[+]{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{2}+\frac{\sin(h^2)}{h\sqrt[+]{2\pi}}\right] \qquad \textrm{S}(h)\approx\sqrt[+]{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{2}-\frac{\cos(h^2)}{h\sqrt[+]{2\pi}}\right] \end{equation*} Para aplicar estas fórmulas, hay que tener en cuenta que \begin{equation*}\begin{aligned} h_1^2&\approx bt+\frac{b^2}{4a} \qquad h_2^2=\frac{b^2}{4a}\\ h_1&\approx \frac{b}{2\sqrt[+]{a}} \qquad h_2=\frac{b}{2\sqrt[+]{a}} \end{aligned} \end{equation*} donde $h_1^2$ , $h_1$ se aproximan según el hecho $a\to0$ . En consecuencia, \begin{equation*}\begin{aligned} \Delta\textrm{C} &\approx \phantom{+}\frac{\sqrt[+]{a}}{b}\left[\sin\left(bt+\frac{b^2}{4a}\right)-\sin\left(\frac{b^2}{4a}\right)\right]\\ \Delta\textrm{S} &\approx -\frac{\sqrt[+]{a}}{b}\left[\cos\left(bt+\frac{b^2}{4a}\right)-\cos\left(\frac{b^2}{4a}\right)\right]\\ \end{aligned} \end{equation*} Ahora, para realizar rápidamente el cálculo de la RHS de \begin{equation*}I_1(t)=\frac{\Delta \textrm{C}}{\sqrt[+]{a}}\cos\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)-\frac{\Delta \textrm{S}}{\sqrt[+]{a}}\sin\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)\end{equation*} definir las abreviaturas \begin{equation*} \alpha \triangleq bt \qquad \beta \triangleq \frac{b^2}{4a} \qquad \gamma\triangleq c \end{equation*} Ahora, para las identidades trigonométricas habituales sobre la suma de ángulos, sostiene (esperando evitar errores tipográficos) \begin{equation*}\begin{aligned} I_1(t)&\approx \frac{1}{b}\left[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\beta)\right]\cos(\gamma-\beta) -\left\{-\frac{1}{b}\left[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\beta)\right]\sin(\gamma-\beta)\right\}\\ &=\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+(\cos(\alpha)-1)\sin(\beta)}{b}(\cos(\gamma)\cos(\beta)+\sin(\gamma)\sin(\beta))\\ &\qquad\qquad+\frac{(\cos(\alpha)-1)\cos(\beta)-\sin(\beta)\cos(\alpha)}{b}(\sin(\gamma)\cos(\beta)-\cos(\gamma)\sin(\beta))\\ &=\frac{\sin(\alpha)\cos(\gamma)+(\cos(\alpha)-1)\sin(\gamma)}{b}\\ &=\frac{\sin(bt)\cos(c)+(\cos(bt)-1)\sin(c)}{b} \end{aligned} \end{equation*} que es el resultado de la búsqueda.