Significado de la parte imaginaria de la amplitud del campo complejo para los modos de guía de ondas (por ejemplo, TE, TM, HE, EH)

Question

En el análisis clásico de guías de ondas (por ejemplo, para fibras ópticas, como en las notas Análisis modal de las fibras de índice escalonado ECE 4006/5166 Guided Wave Optics, Robert R. McLeod, University of Colorado), se pueden encontrar los distintos modos vectoriales soportados, que se definen típicamente como grupos TE, TM, HE, EH, etc.

Para cualquier modo dado, existen entonces expresiones para el campo de modo: $E_r$ , $E_\theta$ , $E_z$ , $H_r$ , $H_\theta$ , $H_z$ donde $E$ es el campo eléctrico, $H$ es el campo magnético y estamos en coordenadas polares suponiendo una guía de ondas cilíndrica.

Algunos de estos componentes de campo son complejos. ¿Puede alguien explicar el significado físico de la parte imaginaria, por favor? Supongo que está relacionada de alguna manera con la fase.

Por ejemplo, en la página 76 de los apuntes citados anteriormente, se muestra que el campo de TE01 presenta un "patrón de remolino" como el siguiente:

¿Está relacionado con la parte real de las amplitudes modales? ¿O con la magnitud (es decir, si convertimos a coordenadas cartesianas, esto se encontraría sumando el cuadrado de los términos X e Y en cuadratura?)

Answer 1

Como habitual siempre que se tenga una amplitud de valor complejo $\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf r)$ es un sustituto de un campo físico que se obtiene como su parte real, es decir $$ \mathbf E(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\left( \tilde{\mathbf{E}}(\mathbf r)e^{-i\omega t}\right). $$ La presencia de partes imaginarias no triviales de $\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf r)$ significa relaciones de fase no triviales entre el campo eléctrico cuando se toma en diferentes puntos. Esto es obvio con, por ejemplo, factores triviales de la forma $e^{ik_zz}$ pero es lo mismo siempre que la amplitud sea compleja. Así, por ejemplo, si $\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf r)=E_0(\hat{\mathbf e}_x+i\hat{\mathbf e}_y)$ entonces $$ \mathbf E(\mathbf r,t) = E_0\left(\cos(\omega t)\hat{\mathbf e}_x+\sin(\omega t)\hat{\mathbf e}_x\right), $$ es decir, con una fase de $i=e^{i\pi/2}$ entre los dos componentes. En general, si dos amplitudes escalares en dos lugares diferentes difieren en una fase $e^{i\varphi}$ habrá un retraso relativo de $\varphi/\omega$ en las oscilaciones de esos dos componentes.

---

La polarización modal es un poco más complicada, y el diagrama de polarización que has dibujado es especial en el sentido de que la polarización es lineal en todas partes (mientras que en el caso general será elíptica en casi todas partes). La polarización es lineal si y sólo si el vector de amplitud de modo complejo $\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf r)$ es real o es un vector real multiplicado por un único escalar complejo, y en ese caso el diagrama dibujado sólo representa esa amplitud de valor real.

Sin embargo, en general, los vectores de valor complejo no tienen esa forma (véase el campo de arriba, $\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf r)=E_0(\hat{\mathbf e}_x+i\hat{\mathbf e}_y)$ como ejemplo que no se puede reducir a un vector real por un escalar complejo), por lo que si se quiere representar el campo de polarización hay que extraer sus ejes elípticos (mediante el método en esta respuesta ) que son vectores de valor real que se pueden dibujar.