Resolución del problema del cable colgante del helicóptero mediante el análisis diferencial

Question

El problema anterior está extraído de la edición de 2014 $F=ma$ concurso.

Esta cuestión generó una gran controversia. Al menos dos examinados cuestionaron la respuesta, uno de ellos incluso intentó hacer el experimento. Me han dicho que varios "Ph.D" diferentes físicos declararon que la respuesta correcta era X, pero, curiosamente, no pudieron ponerse de acuerdo en lo que debería ser X.

En la encuesta de YouTube la mayoría de la gente ha elegido (C), sin embargo la respuesta correcta es (B).

Veritasium lo llevó al siguiente nivel, alquiló un helicóptero para revelar la verdadera respuesta al problema.

Me gustaría resolver este problema utilizando el análisis diferencial, análogo a la ecuación de la catenaria resuelta aquí .

En primer lugar, el helicóptero se desplaza a velocidad constante, por lo que se trata de un sistema de referencia inercial. Si la cuerda parece inmóvil para un observador en el helicóptero, entonces la fuerza neta es nula. Las únicas fuerzas que hay que analizar son la gravedad, la resistencia del aire y, por último, la tensión de la cuerda. He elegido un eje de coordenadas con el origen en el extremo inferior de la cuerda, pero no debería ser importante. La cuerda tiene una forma desconocida, por lo que estamos restringidos en las suposiciones que podemos hacer sobre la geometría de la cuerda - no sabemos que la respuesta correcta es (B) todavía.

Considere un elemento de masa pequeña $\Delta{m}$ en la cuerda. Escribamos todas las fuerzas que actúan sobre $\Delta{m}$ :

La gravedad apunta hacia abajo. La masa es proporcional a la densidad lineal y a la longitud. $$\vec{F_g}=-\Delta{m}g\hat{j}=-\lambda\Delta{s}g\hat{j}$$

La resistencia del aire apunta hacia atrás. La fuerza de arrastre es proporcional al área de la sección transversal, por lo que es proporcional a la longitud de la proyección vertical de $\Delta{m}$ : $$\vec{F_d}=-\frac{1}{2}\rho v^2C_dA\hat{i}=-\alpha\Delta{y}\hat{i}$$

Tensiones: $$\vec{T}(x)=-T(x)\cos\theta(x)\hat{i}-T(x)\sin\theta(x)\hat{j}$$ $$\vec{T}(x+\Delta{x})=T(x+\Delta{x})\cos\theta(x+\Delta{x})\hat{i}+T(x+\Delta{x})\sin\theta(x+\Delta{x})\hat{j}$$

Escribir $\vec{F_\text{net}}=\vec{0}$ en la componente horizontal y vertical:

$$T(x+\Delta{x})\cos\theta(x+\Delta{x})-T(x)\cos\theta(x)=\alpha\Delta{y}~~~(1)$$

$$T(x+\Delta{x})\sin\theta(x+\Delta{x})-T(x)\sin\theta(x)=\lambda\Delta{s}g~~~(2)$$

Dividir ambas ecuaciones por $\Delta{x}$ y tomar $\lim\limits_{\Delta{x}\to0}$ para llegar a la forma diferencial:

$$\frac{d(T\cos\theta)}{dx}=\alpha\frac{dy}{dx}$$

$$\frac{d(T\sin\theta)}{dx}=\lambda\frac{ds}{dx}g$$

En el ejemplo de la catenaria tuvimos suerte porque pudimos eliminar fácilmente $T$ de las ecuaciones, pero aquí no encuentro la manera de simplificar el sistema.

También $\cos\theta=\frac{dx}{ds}$ y $\sin\theta=\frac{dy}{ds}$ son problemáticos.

¿Cómo puedo continuar? ¿Va esto a alguna parte?

EDITAR:

Ecuación $(1)$ dice que $T(x)\cos\theta(x)=\alpha y$ y también $T(x+\Delta{x})\cos\theta(x+\Delta{x})=\alpha(y+\Delta{y})$ teniendo en cuenta que $T(0)=0$ .

Sustituyendo en la ecuación $(2)$ lleva a

$$\alpha(y+\Delta{y})\tan\theta(x+\Delta{x})-\alpha y\tan\theta(x)=\lambda\Delta{s}g$$

De nuevo, dividiendo por $\Delta{x}$ y tomando $\lim\limits_{\Delta{x}\to0}$ para obtener la forma diferencial:

$$\alpha\frac{d(y\tan\theta)}{dx}=\lambda g\frac{ds}{dx}$$

Tenga en cuenta que $\tan\theta=\frac{dy}{dx}$ y $ds^2=dx^2+dy^2$ según el teorema de Pitágoras.

$$\Rightarrow\alpha y\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha\Big(\frac{dy}{dx}\Big)^2=\lambda g\sqrt{1+\Big(\frac{dy}{dx}\Big)^2}$$

$$\Leftrightarrow\alpha yy''+\alpha(y')^2=\lambda g\sqrt{1+(y')^2}$$

La ecuación diferencial en la forma general es:

$$yy''+(y')^2=C\sqrt{1+(y')^2}$$

¡Casi en diagonal!

Answer 1

Creo que tengo la solución. Elegí (C) en la encuesta, pero la respuesta correcta es (B).

Romper el cable en $N$ trozos, cada uno de masa $m$ . Llame a $1$ el trozo en la parte inferior de la cuerda, y $N$ el de la parte superior. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para el trozo 1. Si hay una fuerza vertical de $mg$ debido a la gravedad, una fuerza horizontal $D$ debido al arrastre, y una fuerza $\vec T_1$ ejercida por el trozo $2$ de la cuerda. Llame a $\theta_1$ el ángulo de $\vec T_1$ de la vertical. Dado que el trozo se mueve a velocidad constante, por supuesto, tenemos las ecuaciones $$ \left\{ \begin{align} mg &= T_1 \cos\theta_1 \\ D &= T_1 \sin\theta_1 \end{align} \right. $$ Pasemos al siguiente trozo de cuerda. De nuevo, tenemos una fuerza vertical $mg$ , una fuerza horizontal $D$ la fuerza $\vec T_2$ ejercida por el trozo de cuerda $3$ y, esta vez, por la tercera ley de Newton, también tenemos $-\vec T_1$ ejercida por el trozo 1. Entonces por la segunda de Newton: $$ \left\{ \begin{align} mg + T_1\cos\theta_1 &= T_2 \cos\theta_2 \\ D + T_1 \sin\theta_1 &= T_2 \sin\theta_2 \end{align} \right. $$ No debería ser difícil convencerse de que las señales son correctas. Tenga en cuenta también que no estamos asumiendo $\theta_2=\theta_1$ por ahora, ya que esa será nuestra conclusión. Tenga en cuenta que ya hemos encontrado $\vec T_1$ así que vamos a reemplazarlo aquí: $$ \left\{ \begin{align} 2mg &= T_2 \cos\theta_2 \\ 2D &= T_2 \sin\theta_2 \end{align} \right. $$ Muy bonito, ¿eh? Tenemos una expresión para $\vec T_2$ que no depende de los detalles de $\vec T_1$ . En realidad, se puede generalizar esta fórmula por inducción, o simplemente por inspección, para obtener $\vec T_k$ para todos $k=1,...,N$ : $$ \left\{ \begin{align} kmg &= T_k \cos\theta_k \\ kD &= T_k \sin\theta_k \end{align} \right. $$ Bien, ya casi hemos terminado. Observe cómo la magnitud $T_k$ de $\vec T_k$ depende de $k$ : $$T_k = \sqrt{(kmg)^2 + (kD)^2} = k \sqrt{(mg)^2+D^2} = kT_1.$$ La tensión crece linealmente en $k$ . Qué bonito. Sin embargo, esto es lo más importante: $$\tan\theta_k = \frac{\sin\theta_k}{\cos\theta_k}=\frac{kD}{kmg} = \frac{D}{mg}.$$ Así que los ángulos $\theta_k$ no dependen de $k$ . Dado que el ángulo $\theta_k$ cuánto cuesta la línea que conecta el trozo $k$ y el trozo $k+1$ se desvía de la vertical, esto le indica que la cuerda es una línea recta. $\square$

Puedes comprobar la cordura: si ignoras la resistencia del aire, establece $D=0$ entonces $\tan \theta = 0$ y $\theta = 0$ La cuerda es vertical. Como $D$ se hace cada vez más grande, $\tan\theta$ crece más y más, y $\theta$ se acerca a $\pi/2$ cuerda horizontal.

EDIT: ¿qué ocurre si no suponemos que la resistencia es constante?

En lo anterior, asumimos que cada trozo de cuerda experimenta la misma cantidad de arrastre $D$ . Esto simplifica mucho las cosas. En realidad, la resistencia será proporcional a las áreas de la proyección del trozo de cuerda a lo largo del plano perpendicular al movimiento. En las fórmulas, $$D_k = \gamma(v) \cos\theta_k,$$ donde $\gamma(v)$ tiene dimensiones de aceleración, y es una función monótona creciente de la velocidad, con $\gamma(0)=0$ . Asumiendo que $D=D_k$ para todos $k$ es compatible con la adopción de una aproximación de ángulo pequeño.

A primera vista, no tomar esta aproximación podría parecer que permite una forma diferente de la cuerda. A continuación argumentaré que no es así, utilizando un argumento puramente físico.

Para simplificar las cosas, supongamos que la cuerda está colgada de un poste en un túnel de viento. Así, la cuerda no se mueve en nuestro marco, y en su lugar tenemos un viento a velocidad constante $v$ . Cuando $v=0$ La cuerda está en posición vertical. Ahora, deja entrar un poco de viento. Se espera que la aproximación del ángulo pequeño se mantenga, y tenemos toda la cuerda en un ángulo pequeño $\theta$ . Cada trozo de cuerda experimenta exactamente la misma cantidad de resistencia. Ahora, lo que sucede a medida que aumentamos $v$ por una cantidad $\delta v$ ? Cada trozo de cuerda experimenta un poco más de resistencia. Pero, fundamentalmente, todos experimentan la el mismo aumento de la resistencia. Así que de nuevo la cuerda está en línea recta, con un ángulo ligeramente mayor. Así que, no importa lo fuerte que sea el viento, hay una configuración estable en la que la cuerda está recta.

Permítanme expresarlo de otra manera. El balance de fuerzas para el $k$ El trozo de cuerda es $$ \left\{ \begin{align} kmg &= T_k \cos\theta_k \\ k\gamma(v)\cos\theta_k &= T_k \sin\theta_k \end{align} \right. $$ Ahora, vamos a resolver todos $2N$ de estas ecuaciones simultáneamente asumiendo $\theta_k=\theta$ para todos $k$ . Las ecuaciones para un trozo $k$ se conviertan: $$ \left\{ \begin{align} kmg &= T_k \cos\theta \\ k\gamma(v)\cos\theta &= T_k \sin\theta \end{align} \right. $$ A continuación, toma el cociente de estas dos fórmulas para obtener: $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{k\gamma(v)\cos\theta}{kmg} = \frac{\gamma(v)}{mg}\cos\theta.$$ Tenga en cuenta que $k$ se ha eliminado de la fórmula. Podemos reorganizarla de la siguiente manera $$\sin\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{k\gamma(v)\cos\theta}{kmg} = \frac{\gamma(v)}{mg}(1-sin^2\theta)$$ (¡gracias @MichaelSeifert!), que tiene exactamente una solución positiva: $$\sin\theta = \frac{mg}{2\gamma}\left(\sqrt{1+\left(\frac{2\gamma}{mg}\right)^2}-1\right).$$ Si $\theta_k=\theta$ cada uno de ellos resolvemos todas las ecuaciones. $\square$

"¡Espera!", dirás, "has supuesto que la cuerda estaba en línea recta, ¿no es eso lo que querías demostrar?". Bueno, sí, asumí que la cuerda estaba en línea recta. Pero lo que yo probado es que hay una configuración de línea recta es un configuración estática un equilibrio. En otras palabras, demostré que si la cuerda está en línea recta en ese ángulo, no sentirá ninguna fuerza neta.

Para saber realmente que este es la configuración que tomará la cuerda, habría que demostrar que se trata de un equilibrio estable, de modo que pequeñas desviaciones decaerán y llevarán allí. Estoy feliz de tomar eso como una suposición.

Comprobación de cordura. Deja que $\alpha = \frac{2\gamma}{mg}$ es una cantidad adimensional que cuantifica la fuerza del viento. Podemos reescribir el ángulo como una función de $\alpha$ : $$\sin\theta = \frac{\sqrt{1+\alpha^2}-1}{\alpha}.$$ Con vientos débiles, $\alpha\ll 1$ y $$\sin\theta \approx \frac\alpha2 = \frac\gamma{mg},$$ que es compatible con el cálculo anterior. Esto es bueno, ya que allí suponíamos que la resistencia era independiente del ángulo, lo cual es una aproximación válida sólo para ángulos pequeños, es decir, para vientos pequeños. (Por cierto, ahora me doy cuenta de que debería haber puesto $\gamma=D$ )
Si en cambio tenemos vientos enormes, $\alpha\gg1$ tenemos $$\sin\theta \approx 1 - \frac{mg}{2\gamma},$$ Este modelo predice un ángulo máximo de $\theta = \pi/2$ para la cuerda.

Answer 2

Creo que la respuesta que obtienes depende de una suposición sobre las fuerzas aerodinámicas. Dividir la cuerda en segmentos infinitesimales de longitud ${\rm d}s$ y seguir a lo largo.

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1. Supongamos que la fuerza aerodinámica es proporcional a la longitud del segmento $\Delta s$ independientemente de la pendiente del segmento. Esto trata el aire que fluye a través de la cuerda y a lo largo de la cuerda igual y la combinación de cuerda y velocidad tiene un peso aerodinámico fijo valor $w_y$ de manera que el balance de fuerzas sea

   

   En la figura anterior $w_y$ es el peso por longitud de la cuerda, y $w_x$ la fuerza aerodinámica por longitud que es horizontal y constante.

   En este escenario el balance de fuerzas es

   $$ \begin{aligned} (T+{\rm d}T) \sin(\theta + {\rm d}\theta) - T \sin\theta & = w_x {\rm d}s \\ (T+{\rm d}T) \cos(\theta + {\rm d}\theta) - T \cos\theta & = w_y {\rm d}s \end{aligned}$$

   que se resuelve para el cambio de tensión y el cambio de ángulo utilizando una aproximación de ángulo pequeño ${\rm d}\theta \ll 1$ , $\cos \theta \approx 1$ y $\sin \theta \approx \theta$ . La solución es

   $$\begin{aligned} {\rm d}T & = (w_x \sin \theta + w_y \cos \theta) {\rm d}s \\ {\rm d}\theta & = \frac{w_x \cos \theta - w_y \sin \theta}{T} {\rm d}s \end{aligned}$$

   Es razonable suponer que $\tan \theta = \frac{w_x}{w_y}$ es una solución estable que produce ${\rm d}\theta =0 $ y ${\rm d}T = \sqrt{w_x^2+w_y^2}\; {\rm d}s$ .

   A partir de este punto no tiene sentido continuar ya que ${\rm d}\theta = 0$ significa que el ángulo es constante y la forma es una línea recta.

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2. Pero el escenario más interesante es aquel en el que las fuerzas aerodinámicas que actúan sobre la cuerda no son horizontales porque hay diferentes leyes que rigen el flujo de aire a lo largo de la cuerda y el flujo de aire a través de la cuerda. El flujo a lo largo de la cuerda lo denomino "rozamiento de la piel" y le asigné la función $f_{\rm F}(v_{\rm along})$ de fuerza por unidad de longitud. El flujo a través de la cuerda lo denomino "arrastre por presión" y le asigné la función $f_{\rm D}(v_{\rm across})$ de fuerza por unidad de longitud.

   

   La descomposición de la velocidad depende de la pendiente con $v_{\rm along} = v \sin \theta$ y $v_{\rm across} = v \cos \theta$ .

   En este escenario el balance de fuerzas es

   $$ \begin{aligned} (T+{\rm d}T) \sin(\theta + {\rm d}\theta) - T \sin\theta & = (f_{\rm D} \cos \theta + f_{\rm F} \sin \theta) {\rm d}s \\ (T+{\rm d}T) \cos(\theta + {\rm d}\theta) - T \cos\theta & = (w_y - f_{\rm D} \sin \theta + f_{\rm F} \cos \theta) {\rm d}s \end{aligned}$$

   que se resuelve para el cambio de tensión y el cambio de ángulo de la siguiente manera

   $$\begin{aligned} {\rm d}T & = ( w_y \cos \theta + f_F ) {\rm d} s \\ {\rm d}\theta & = \frac{f_D - w_y \sin \theta}{T} {\rm d}s \end{aligned}$$

   Tenga en cuenta que $f_{\rm D}$ y $f_{\rm F}$ dependen del ángulo a través de la relación de la componente de velocidad. Lo anterior dará una respuesta en línea recta si $f_{\rm D}-w_y \sin \theta=0$ .

   Un poco más de detalle aquí es que lo más probable es que $f_{\rm D} = \tfrac{1}{2} c_{\rm D} \rho D (v \cos \theta)^2 = h_{\rm D} \cos^2 \theta$ . Por lo tanto, la solución del ángulo estable se encuentra resolviendo

   $$ h_{\rm D} \cos^2 \theta - w_y \sin\theta = 0$$

   la solución que obtuve utilizando la sustitución tan-medio ángulo es

   $$ \tan\left( \frac{\theta }{2} \right) = \frac{w_y}{2 h_{\rm D}} + \sqrt{ 1 + \left( \frac{w_y}{2 h_{\rm D}} \right)^2 } - \sqrt{ \frac{w_y}{h_{\rm D}} \left( \frac{w_y}{2 h_{\rm D}} + \sqrt{ 1 + \left( \frac{w_y}{2 h_{\rm D}} \right)^2 } \right) } $$

Así que supongo que el resumen es que en ambos escenarios es posible obtener una forma de línea recta, aunque en diferentes ángulos.

Answer 3

La forma es la misma si imaginamos que el helicóptero está parado, pero hay un viento que produce una fuerza $F$ por metro en el cable, a la izquierda.

Si el cable está en ángulo $\theta$ a la horizontal una distancia $x$ por el cable, de longitud $L$ y de masa por unidad de longitud $m$

y $T$ es la tensión en $x$ ,

entonces para una primera aproximación

$$T\sin\theta = m(L-x)g\tag1$$ y $$T\cos\theta = F(L-x)\tag2$$

dividiendo $$\tan\theta = \frac{mg}{F}\tag3$$ y eso es constante, lo que lleva a un ángulo constante $\theta$ por lo que la línea recta, respuesta B

Si añadimos un término para tener en cuenta que la resistencia depende del ángulo, podemos cambiar la ecuación 2) por la 4)

$$T\cos\theta = F(L-x)\times \sin\theta\tag4$$

Después de dividir y utilizar $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

obtenemos $$\cos^2\theta+\frac{mg}{F}\cos\theta-1=0 \tag5$$ esto se puede resolver para dar de nuevo una constante $\theta$ independientemente de $x$ , respuesta B.

Answer 4

Aquí están mis dos centavos

$\theta dy$ es la resistencia del aire en la sección pequeña, mientras que $\lambda ds$ es la gravedad en la sección pequeña.

$$y'|_{x} = \frac{T_0}{F_0}\tag1$$ $$y'|_{x+dx} = \frac{T_1}{F_1}\tag2$$ $$\theta dy + F_0 = F_1\tag3$$ $$\lambda ds + T_0 = T_1\tag4$$ Introduce(1),(2) en (4) $$\lambda ds + F_0 y'|_{x}= F_1 y'|_{x+dx}\tag5$$ Introduce(3) en (5) $$\lambda ds + (F_1-\theta dy)y'|_{x}= F_1 y'|_{x+dx}$$ $$\lambda ds- \theta y'|_{x} dy = F_1 (y'|_{x+dx} - y'|_{x}) $$ $$\lambda \frac{ds}{dx} - \theta y'|_{x} \frac{dy}{dx} = F_1 y''|_{x} $$ $$\lambda \sqrt{1+(y')^2} - \theta y'^2= F_1 y'' \tag6$$ Una solución a esto es $y'= const = \sqrt{\frac{(\frac{\lambda}{\theta})^2+\sqrt{(\frac{\lambda}{\theta})^2+4\frac{\lambda}{\theta}}}{2}}$ Por lo tanto, es una línea recta.

Answer 5

para un trozo de cuerda con la longitud $~s(x)~$

tomar la suma de las fuerzas

$$\sum F_x=T\,\cos(\theta)-F_d+H=0$$ $$\sum F_y=T\,\sin(\theta)-F_g=0$$

la fuerza del peso $~F_g~$ est

$$F_g=m\,g=\rho\,A\,g\,s(x)=\rho\,A\,g\,\int_0^x\sqrt{1+y'^2}\,dx$$

la fuerza de arrastre es proporcional a la longitud de la cuerda $~s(x)~$

$$F_d=\kappa\int_0^x\sqrt{1+y'^2}\,dx$$

la fuerza de tensión H en el extremo de la cuerda es cero, por lo que

$$\frac{dy}{dx}=\frac{T\,\sin(\theta)}{T\,\cos(\theta)}=\tan(\theta)=\frac{F_g}{F_d}=\frac{\rho\,A\,g}{\kappa}=k\quad \Rightarrow\\ y(x)=k\,x+c$$

por lo tanto: la solución es B

Tenga en cuenta que si $~F_d=0~$ y $~H\ne 0~$ se obtiene

$$y'=\frac{F_g}{H}=\frac{\rho\,A\,g\,\int_0^x\sqrt{1+y'^2}\,dx}{H}\\ y''=\frac{\rho\,A\,g}{H}\,\sqrt{1+y'^2}$$

se trata de la conocida ecuación diferencial en cadena