Simplemente la conectividad en $R^3$ con un agujero esférico?

Question

Entiendo por qué $R^3 - {(0,0,0)}$ está simplemente conectado, y también entiendo por qué $R^2 - {(0,0)}$ no está simplemente conectado. La forma en que lo veo es si se comprueba si la región es $a)$ conectado a la ruta y $b)$ cualquier curva se puede contraer a un punto de la región.

Por lo que razoné parece que hay un patrón, un agujero en $R^2$ impide simplemente la conexión, una línea que falta en $R^3$ hace lo mismo, y por eso razoné para $R^n$ cualquier $n-2$ La cifra que falta en la dimensión (o superior) impediría que la región estuviera simplemente conectada.

Entonces se me planteó el escenario: tomar $D$ para ser todo $3D$ espacio excepto una esfera de radio 1, es $D$ ¿simplemente conectado? La respuesta es aparentemente sí, D está simplemente conectado porque "el agujero esférico no impide que las trayectorias se contraigan a puntos mientras permanecen en $D$ ". Sin embargo, ahora estoy confundido porque un agujero esférico es un $3D$ agujero y va en contra de mi conjetura anterior. Además, según este vídeo del MIT: https://www.youtube.com/watch?v=6S3BJSsc72Q , $R^3 -$ un círculo no está simplemente conectado.

Entonces, ¿por qué $R^3$ - un agujero esférico simplemente conectado?

Answer 1

Piensa en bucles con algún punto fijo en $\mathbb{R}^3$ . Es necesario poder contratar $\it{any}$ posible bucle unido a ese punto fijo de vuelta al punto fijo. Para el agujero esférico (bola borrada) siempre se puede pasar el bucle alrededor de la bola. Ahora imagina una vara de longitud finita con un bucle alrededor de ella. Todavía puedes pasar el bucle alrededor de la varilla, pero no a través de ella. Si la varilla tuviera una longitud infinita (una línea en $\mathbb{R}^3$ ) no podrías tirar del bucle a través de la varilla o alrededor del extremo de la varilla.

Answer 2

$\mathbb{R}^3$ menos una 3ª dimensión bola está simplemente conectado.

$\mathbb{R}^3$ menos un esfera (por ejemplo, menos el superficie de una pelota) no lo es, aunque por una razón ligeramente diferente a la que $\mathbb{R}^3$ menos el $z$ -El eje no lo es.

En $\mathbb{R}^3$ menos un esfera su región consta de dos desconectado partes: el interior de la esfera y el exterior. Se puede transformar continuamente cada trayectoria en un punto, pero se puede no transformar continuamente cada camino en cada uno de los otros caminos - sólo se puede hacer si los caminos residen en el mismo lado de la esfera.

Answer 3

Tenga en cuenta que $A:=\mathbb{R}^{3}\setminus S^{2}$ no está conectado y, por lo tanto, no está conectado a la ruta, lo que rompe la definición de estar simplemente conectado ya. Así que la respuesta no es muy profunda.

De hecho, para definir $\pi_{1}(A)$ que es la notación libre de punto base, se necesita $A$  para que sea un camino conectado. Por lo tanto, la notación $\pi_{1}(A)$ ya es un poco ambiguo. Para los espacios no conectados por trayectorias hay que estudiar cada $\pi_{1}(A,x_{0})$ por separado con $x_{0}$ siendo un punto base en un determinado componente de la trayectoria. Cada uno de los componentes de la trayectoria de $A$ están simplemente conectadas, sin embargo.

Answer 4

En primer lugar, R^3 - {origen} es simplemente conectado. La razón es que, ingenuamente, se tiene más grado de libertad en cuanto a encontrar una trayectoria continua en la región.