Métrica de un conjunto de líneas inclinadas en un espacio tridimensional

Question

Supongamos que tenemos un conjunto $M = \left\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^3_{++}: \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha}+\lambda \boldsymbol{\beta}, \lambda\in (0,t), \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^3 \right\},$ donde $t$ es un número positivo y $\mathbb{R}^3_{++}$ implica que todas las coordenadas en $\boldsymbol{x}$ es estrictamente positivo. Además, para cualquier $\boldsymbol{x'},\boldsymbol{x''}\in M$ , $\boldsymbol{x'}$ no son paralelos/ortogonales a $\boldsymbol{x''}$ .

Estoy intentando encontrar una métrica válida para este conjunto pero no lo he conseguido. He probado la distancia más corta entre las dos líneas (es decir, $d(\boldsymbol{x'},\boldsymbol{x''})=\left\|\frac{\boldsymbol{\beta'}\times\boldsymbol{\beta''}\cdot(\boldsymbol{\alpha'}-\boldsymbol{\alpha''})}{\|\boldsymbol{\beta'}\times \boldsymbol{\beta''}\|}\right\|$ ) y el volumen del tetraedro delimitado por los cuatro puntos extremos de las dos líneas (es decir $d(\boldsymbol{x'},\boldsymbol{x''})=\left\|\frac{\boldsymbol{\beta'}\times\boldsymbol{\beta''}\cdot(\boldsymbol{\alpha'}-\boldsymbol{\alpha''})}{6}\right\|$ ). Pero todos ellos violan la condición de desigualdad del triángulo. ¿Puede alguien ayudarme con esto? Muchas gracias por su atención y participación.

Editar: También he probado el ángulo entre las líneas $$d(\boldsymbol{x'},\boldsymbol{x''}) = \left\|\frac{\alpha \cdot \beta}{||\alpha||*||\beta||} \right\|=\left\|cos(\theta)\right\|,$$ donde $\theta$ es el ángulo entre las dos líneas. Pero tampoco he podido demostrar la desigualdad del triángulo.

Editar: Estoy buscando una métrica que implique la $L^2-$ norma.

Answer 1

Definir una función $d: M \times M \to \mathbb R^+$ por $d(x, y) = sup_{\lambda \in (0, t)}(||(x - y)(\lambda)||) $ donde $||.||$ es el $L_2$ norma en $R^3$ .

En primer lugar, ¿está bien definido?
Ciertamente, $x - y$ está bien definida para $\lambda \in (0, t)$ y $||(x - y)(\lambda)||$ es un positivo ( $\ge 0$ ) valor real.
$||(x - y)(\lambda)|| \le ||x(\lambda)|| + ||y(\lambda)||$ y con $\alpha, \beta$ fijado para $x$ , $t$ fijo, y $\lambda \in (0, t)$ entonces $||x(\lambda)||$ está acotado por encima, al igual que $||y(\lambda)||$ .
Así que, $||(x - y)(\lambda)|| $ está acotado por encima y, por tanto, tiene un supremacía.

En segundo lugar, es $d$ ¿una métrica?

1. $d(x, y) \ge 0$ se deduce de la propiedad de $||.|| \ge 0$
2. $d(x,x) = sup(||0||) = 0$ y si $x \ne y$ entonces claramente, $d(x, y) \ne 0$
3. $d(x, z) = sup_{\lambda \in (0, t)}(||(x - z)(\lambda)||) $
   $= sup_{\lambda \in (0, t)}(||x(\lambda) - z(\lambda)||) $
   $= sup_{\lambda \in (0, t)}(||x(\lambda) - y(\lambda)+ y(\lambda)- z(\lambda)||) $
   $\le sup_{\lambda \in (0, t)}(||x(\lambda) - y(\lambda)|| + ||y(\lambda)- z(\lambda)||) $ por la propiedad de $||.||$ $\le sup_{\lambda \in (0, t)}(||x(\lambda) - y(\lambda)||) + sup_{\lambda \in (0, t)}(||y(\lambda)- z(\lambda)||) $ desde $||.||$ es positivo
   Es decir $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z) $

Así que, $d$ es una métrica.

Tenga en cuenta que ||.| no tiene que ser el $L_2$ cualquier norma sobre $\mathbb R^3$ resulta en una métrica de supremacía.
Esto no es más que un caso específico de una métrica de supremacía sobre funciones "acotadas". Sus funciones ( $x \in M$ ) están acotados en términos de cualquier norma sobre $\mathbb R^3$ ya que son una combinación lineal de dos vectores con un parámetro $\lambda$ en un rango finito $(0, t)$ .