Demostrar que la ecuación $x^2+7x=-12$ tiene exactamente dos soluciones distintas en $\mathbb{Z}p$ para cada primo $p$ .

Question

Demostrar que la ecuación $x^2+7x=-12$ tiene exactamente dos soluciones distintas en $\mathbb{Z}p$ para cada primo $p$ . ¿Es esto cierto para cada número entero positivo $p > 1$ ?

Hasta ahora lo único que he hecho es calcular la ecuación en $(x+4)(x+3)=0$ que tendrá dos soluciones distintas: $x=-4$ o $x=-3$ . Ahora no estoy seguro de cómo decir que esto siempre tendrá dos soluciones distintas para cualquier $\mathbb{Z}p$

Answer 1

Ser primo no es la clave aquí. Ser impar lo es.

Para impar $p$ (no necesariamente primo), $2$ es invertible mod $p$ y por tanto se aplica la fórmula cuadrática.
Entonces, observe que el discriminante de $x^2+7x+12$ es $1$ que es un cuadrado y nunca $0$ mod $p$ . La fórmula cuadrática nos da exactamente dos soluciones.

Para $p=2$ la ecuación se reduce a $x^2+x=0$ cuyas soluciones son $0$ y $1$ .

Para $p>2$ incluso, esto no se sostiene necesariamente. Falla para $p=6$ por ejemplo, porque $x^2+7x+12$ tiene $4$ raíces mod. $6$ : $0,2,3,5$ . Además, hay $8$ raíces mod. $30$ por ejemplo.