Obtención de coordenadas de puntos después de una rotación

Question

Tengo dos puntos $p_1$ y $p_2$ en un gráfico bidimensional, cada uno de los cuales tiene un $x$ -y una $y$ - coordinar. Quiero rotar $p_2$ por $60^\circ$ alrededor de $p_1$ , de tal manera que $p_1$ se fija en su posición. Entonces, ¿cómo saber el nuevo $p_2$ coordenadas (después de la rotación)? Creo que hay alguna relación entre la línea que une $p_1$ à $p_2$ y el ángulo $60^\circ$ pero no puedo entender qué es.

Answer 1

Escribe los puntos en vectores columna: $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ . Entonces

$P_2':=\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}\cdot (P_2-P_1) + P_1$

donde elegir $\varphi=\pm 60^\circ$ según la dirección en la que quieras girar.

Answer 2

En el plano de los números complejos, una rotación de un punto, $z$ a través de un ángulo, $\theta$ se realiza mediante $z \to z e^{i \theta}$ .

Si $z = x + iy$ , donde $x,y \in \mathbb R$ y $\theta = 60^\circ$ entonces

$x + iy \to (x + i y)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) \to (x + iy)(1 + i\sqrt 3)/2 \to (x-\frac 12y\sqrt 3) + i(y +\frac 12x\sqrt 3)$

Sur $\mathbb R^2$ Esto se traduce en $(x,y) \to (x-\frac 12y\sqrt 3, \frac 12x\sqrt 3 + y)$