Dejemos que $X$ un espacio de Banach y $(\Omega, \Sigma, \mu)$ un espacio de medidas. Una función $F:\Omega\rightarrow X$ es integrable en Dunford si $x^\ast\circ F$ es $\mu$ -integrable para cada $x^\ast\in X^\ast$ . El espacio de las funciones que son integrables de Dunford, denotado por $\mathbb{D}(\mu,X)$ es un espacio normado con $$ \|F\|:=\sup\left\{\int_\Omega|x^\ast\circ F|d\mu:x^\ast\in X^\ast,\,\|x^\ast\|\leq1\right\} $$ ¿Alguien sabe si el espacio $\mathbb{D}(\mu,X)$ ¿está completo?
Respuesta
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Esta es una versión revisada y ampliada de mi post.
No no está completo. Para simplificar, supongamos que $X$ es reflexiva y separable, en cuyo caso las integrales de Dunford y Pettis coinciden. Supongamos también que $\mu$ es finito y no atómico. En este caso el espacio de funciones integrables de Pettis es completo si y sólo si $X$ es de dimensión finita, como ha demostrado Thomas
G.E.F. Thomas, Funciones totalmente sumables con valores en espacios localmente convexos , Measure Theory (Oberwolfach 1975), Lecture Notes in Math. Vol. 541 (1976), 117-131.
Esto se basa en un resultado suyo que afirma que existe una secuencia absolutamente sumable $(x_n)_{n=1}^\infty$ en $X$ (la reflexividad no es necesaria) y una secuencia $(f_n)_{n=1}^\infty$ en la bola unitaria de $L_1(\mu)$ tal que la medida vectorial
$$\nu(A) = \sum_{n=1}^\infty \int\limits_A f_n(t)\,{\rm dt}\cdot x_n$$
no tiene una densidad Pettis intregrable.
G.E.F. Thomas, The Lebesgue-Nikodym Theorem for Vector Valued Radon Measures, Memorias. de la AMS , 139 Sociedad Matemática Americana, Providence, 1974.
La secuencia $(\sum_{k=1}^n f_k\cdot x_k)$ es Cauchy en $\mathcal{P}$ porque $(x_n)_{n=1}^\infty$ es absolutamente sumable, sin embargo no es convergente ya que no existe una función $F$ tal que
$$\lim_{n\to \infty}\int\limits_A \sum_{k=1}^n f_k(t)\cdot x_k\,{\rm d}t\to \int_A F(t)\,{\rm d}t.$$
Me parece que las funciones integrables de Pettis forman un subespacio cerrado del espacio de las funciones integrables de Dunford, por lo que se puede extender el resultado anterior como en el caso en que $X$ es de dimensión infinita, se tiene un subespacio incompleto y cerrado de un espacio normado, por lo que el propio espacio no puede ser completo.
Apéndice . Permítanme señalar que si quieren hacer algún análisis funcional con el espacio de funciones integrables de Pettis, aunque incompleto, es barril .
