Para los fijos $x \geq 0$ , encontrar $\lim\limits_{n\to\infty}1-\left(\frac{n-\lambda}{n}\right)^{nx}$

Question

Para los fijos $x \geq 0$ , encontrar $\lim\limits_{n\to\infty}1-\left(\frac{n-\lambda}{n}\right)^{nx}.$

Claramente, el objeto de interés es $\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n-\lambda}{n})^{nx}=\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{nx}$ .

Esto se parece mucho a $\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})^n=\frac{1}{e}$ .

Si no, estoy perdido.

Answer 1

Desde $x\ge0$ es fijo, si $$ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{\!n}=l $$ existe, también tiene $$ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{\!nx}= \lim_{n\to\infty} \left( \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{\!n} \right)^{\!x}= l^x $$ porque $t\mapsto t^x$ es continua en $\mathbb{R}$ (si no confías en $0^0=1$ , haga un caso aparte para $x=0$ que, sin embargo, es trivial).

Es bien sabido que $l$ existe y es finito: en efecto $l=e^{-\lambda}$ . Por lo tanto, su límite es $$ 1-e^{-\lambda x} $$

Answer 2

El planteamiento es el estándar en el caso de límites del tipo $1^\infty$ : $\Big( 1- \frac \lambda n \Big)^{nx} = \Big[ \Big( 1- \frac \lambda n \Big) ^{- \frac n \lambda} \Big] ^{-\frac \lambda n nx}$ . Se garantiza que la cantidad entre los brackets cuadrados tiende a $\Bbb e$ por lo que sólo hay que calcular el límite del exponente, que en este caso es $-\lambda x$ . Por lo tanto, su límite es $\Bbb e ^{-\lambda x}$ . Esto es para el caso $\lambda \ne 0$ para poder escribir la fracción $\frac n \lambda$ . Si $\lambda = 0$ entonces el límite es trivial $1$ .