Que $\sum_{i = 1}^{\infty} a_i = s \in \mathbb{C}$ sea una serie convergente de números complejos. ¿Entonces el conjunto de todas las permutaciones $\sigma \in\operatorname{Perm}(\mathbb{N})$ tal que $\sum_{i=1}^{\infty} a_{\sigma(i)} = s$ forma un grupo? Parece trivial para demostrar si es cierto.
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Aquí es razonablemente simple contraejemplo. Deje $\sigma\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ ser la siguiente permutación de los números naturales: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \cdots \\ \hline \sigma(n) & \color{blue}2 & \color{blue}4 & \color{blue}6 & \color{red}1 & \color{blue}8 & \color{blue}{10} & \color{blue}{12} & \color{red}3 & \color{blue}{14} & \color{blue}{16} & \color{blue}{18} & \color{red}{5} & \cdots\\ \hline \end{array} $$ con tres números para cada número impar. Vamos a demostrar una serie convergente con la propiedad de que $\sigma$ no cambia su valor, sino $\sigma^2$.
Deje $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ ser la secuencia $$ -1,2,-1,\;-\frac12,\frac22,-\frac12,\;-\frac13,\frac23,-\frac13,\;-\frac14,\frac24,-\frac14,\;\ldots $$ y deje $\{b_n\}_{n=1}^\infty$ ser la secuencia cuyos términos raros son cero, y cuyas condiciones satsify $b_{2n} = a_n$. Entonces la serie $$ \sum_{n=1}^\infty b_n \;=\; 0 - 1 + 0 + 2 + 0 - 1 \;+\; 0 - \frac12 + 0 + \frac22 + 0 - \frac12 + 0 \;+\; \cdots $$ converge a $0$. La aplicación de la permutación $\sigma$ a los términos de esta serie da $$ \sum_{n=1}^\infty c_n \;=\; \color{blue}{-1+2-1} \color{red}{+ 0} \color{blue}{- \frac12 + \frac22 - \frac12} \color{red}{+ 0} \color{blue}{- \frac13 + \frac23 - \frac13} \color{red}{+ 0} + \cdots $$ que también converge a $0$. Sin embargo, la aplicación de $\sigma$ rendimientos $$ \sum_{n=1}^\infty d_n \;=\; \color{blue}{2 + 0 + \frac22} \color{red}{- 1} \color{blue}{+ 0 + \frac23 + 0} \color{red}{-1} \color{blue}{+\frac24 + 0 + \frac25} \color{red}{- \frac12} + \cdots. $$ Pretendemos que esta serie ¿ no convergen a $0$.
Para probar esto, se observa que el $8N$'ésima suma parcial de esta serie es $$ \sum_{n=1}^{8N} d_n \;=\; \left(\sum_{k=1}^{3N} \frac{2}{k} \right) - \left(2\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} \right) \;=\; 2H_{3N} - 2H_N, $$ donde $H_i$ indica el $i$'ésimo número armónico. Se sabe que $$ H_n \;=\; \log(n) + \gamma + o(1) $$ donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante, y por lo tanto $$ \begin{align*} \sum_{n=1}^{8N} d_n \;&=\; 2H_{3N} - 2H_N \\ \;&=\; 2\bigl(\log(3N) + \gamma + o(1) \bigr) - 2\bigl(\log(N) + \gamma + o(1)\bigr) \\[2ex] \;&=\; \log(9) + o(1) \end{align*} $$ Dado que los términos de la serie converge a cero, se sigue que $$ \sum_{n=1}^\infty d_n \;=\; \log(9). $$
Editar:
Por cierto, debo mencionar cómo hice este ejemplo. Supongamos que tenemos una permutación $\sigma$ y una serie de $\sum_{n=1}^\infty s_n$ con las siguientes propiedades:
La distancia $|\sigma(n) - n|$ que $\sigma$ mueve términos es ilimitado.
La serie es condicionalmente convergente.
Bajo estas condiciones, $\sigma$ casi siempre cambiar el valor de la suma (o cambiar el convergente la serie para una divergente).
Así que todo lo que hice fue elegir el más simple permutación $\sigma$ que podía pensar, y luego he creado un condicionalmente convergente la serie con $0$'s en el derecho de los lugares que se mantuvo sin cambios por $\sigma$.
En estas condiciones, como suele ser el caso de que $\sigma^2$ cambios en el valor de la suma. La única parte difícil es asegurarse de que la original de la serie converge, y que la suma original y la suma final puede ser evaluado de forma explícita.
Michael Kniskern
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Para responder a los más débiles de la pregunta. ¿Qué estructura de dichas transformaciones forma al $\sum_{i=1}^{\infty} a_{\sigma(i)}$ simplemente tiene que converger?
El conjunto de todas las secuencias de $(a_i)$ tal que $\sum_{i=1}^{\infty} a_{\sigma(i)}$ converge forma un espacio vectorial. Prueba, vamos a $\lambda$ ser un escalar y $a, b$ dos secuencias con esta propiedad, cada una de cuyas series convergen en $\sigma$ $s$ $t$respectivamente. A continuación, para todos los $\epsilon \gt 0$ tenemos para finitos $N$ $$ | \sum_{i=1}^{N} (\lambda a_{\sigma(i)} + b_{\sigma(i)}) - \lambda s + t| \leq \lambda|\sum_{i=1}^N a_{\sigma(i)} - s| + |\sum_{i=1}^{N} b_{\sigma(i)} - t| $$
El lado derecho puede hacerse tan pequeña como queramos suficientemente grande $N$, por lo que en realidad tenemos un espacio vectorial.
Deje que el espacio vectorial inducida por el índice de permutación $\sigma$ ser llamado $V_{\sigma}$. Otro índice de permutación $\pi$ puede ser descompuesto en una posible secuencia infinita de transposiciones $\pi = \tau_1 \circ \tau_2 \circ \dots$ (Prueba?)
Así que si $(a_i) \in V_\sigma$, $(a_{\tau_1(i)}) \in V_{\sigma}$ desde $(a_{\tau_1(i)}) = (a_i) + (0,\dots, a_{\tau_1(i)} - a_i, \dots, a_i - a_{\tau_1(i)}, \dots, 0)$, el segundo término es absolutamente convergente y tan claramente en $V_{\sigma}. \ $ Similarmente $(a_{\tau_1\cdot\tau_2(i)}) \in V_{\sigma}$, y así sucesivamente...
Si $V_{\sigma}$ es cerrado, luego de que contiene todos su límite de puntos. Asumiendo que es cerrado...
Me doy por vencido. Demasiadas suposiciones sin pruebas.
