Independencia de Ber $(1/2)$ -variables aleatorias distribuidas

Question

Dado el siguiente ejercicio:

Dejemos que $(\Omega, \mathcal F, P) = (]0,1[, \mathcal B(]0,1[), \lambda)$ con la medida de Lebesgue $\lambda$ . Definir $$Y_n(\omega) := \mathbb 1_{\{ \lfloor 2^n \omega \rfloor \text{is even}\}}$$ Demuestra que $(Y_n)_{n\in \mathbb N}$ es una secuencia independiente de Bernoulli( $\frac{1}{2}$ )-variables aleatorias distribuidas.

Primero demostré que el $Y_n$ son efectivamente Ber( $1/2$ )-distribuido:

Es fácil ver que $\lfloor 2^n \omega \rfloor$ es incluso para $\omega \in [\frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n}[$ , donde $k \in \{0, 2, 4, \dots, 2^n - 2\}$ e impar para $\omega \in [\frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n}[$ , donde $k \in \{1, 3, 5, \dots, 2^n - 1\}$ . Como se trata de una partición de intervalos del mismo tamaño del intervalo $[0,1[$ se deduce que $$P(Y_n = 1) = P(Y_n =0) = \frac{1}{2}.$$ Ahora no estoy seguro de cómo mostrar la independencia. Me parece muy obvio, pero me parece que mostrarlo formalmente es técnico y complicado. ¿Alguna forma sencilla de mostrarlo?

Answer 1

Dejemos que $m<n$ .

Paso I: Para dos variables aleatorias Bernoulli cualesquiera $X,Y$ son independientes si y sólo si $P[X=1,Y=1]=P[X=1]\cdot P[Y=1]$ . Por lo tanto, en nuestro caso basta con demostrar que $P[Y_m=1, Y_n=1]=1/4$ . De forma equivalente, podemos mostrar $P[Y_n=1|\ Y_m=1]=1/2$ .

Paso II: En el evento $Y_m=1$ tenemos $\omega\in [\frac{k}{2^m},\frac{k+1}{2^m}]$ donde $k$ está en paz. Para estos $\omega$ 's, ¿cuándo tenemos $Y_n=1$ Dividir cada intervalo de la forma $[\frac{k}{2^m},\frac{k+1}{2^m}]$ en $2^{n-m}$ subintervalos iguales. Cada uno de ellos será de tamaño $\frac{1}{2^n}$ y exactamente en la mitad de ellos tendremos $Y_n=1$ .

Bueno, eso es todo. Perdón por no ser muy riguroso, los detalles pueden ser bastante largos. Pero la idea está aquí.