Regla de Simpson o regla trapezoidal

Question

La función, $$f(x) = e^x $$ en 11 puntos equidistantes en el intervalo [0,1].

La pregunta es si la regla trapezoidal sobre 10 subintervalos daría una mejor aproximación que la regla de Simpson sobre 5 subintervalos en la función proporcionada?, y si podemos estar absolutamente seguros de nuestra elección?

He calculado el error absoluto de cada uno, y he descubierto que la regla de Simpson proporciona una mejor aproximación. Sin embargo, la pregunta tiene un sentido más bien teórico, y me preguntaba si se podría dar una respuesta sin necesidad de hacer cálculos.

Answer 1

Por la regla de Simpson, $S(f)$ existe un punto $\xi \in [0,1]$ tal que el error $$ E(S(f),n) = \left|\int_0^1 f(x) dx - S(f) \right| = \frac{1}{180 n^4} |f^{(4)}(\xi)| \leq \frac{e}{180 n^4}. $$ Para la regla trapezoidal, T(f), el error es $$ E(T(f),n) = \left|\int_0^1 f(x) dx - T(f) \right| = \frac{1}{12 n^2} |f^{"}(\xi)| \geq \frac{1}{12 n^2}. $$ Por lo tanto, tenemos $$ E(S(e^x),5) \leq 3e-05 $$ y $$ E(T(e^x),10) \geq 8e-04, $$ de ahí que podamos estar seguros de que la regla de Simpson será la mejor. De hecho, tengo $E(S(e^x),5) = 7.3415e-06$ y $E(T(e^x),10) = 0.0012$ por lo que la diferencia es algo mayor de lo que predicen los límites teóricos.