Aproximación de distribuciones con dados

Question

Quiero saber qué dados lanzar para obtener una determinada distribución de probabilidad (principalmente distribuciones normales, pero la distribución exponencial también sería útil).

Quiero una función $f$ para que

$$N(\mu,\sigma)\approx f(n_2, n_4, n_6,n_8,n_{10},...,n_s) $$

donde $n_s$ son el número de dados con $s$ lados. Sé que el teorema del límite central dice que la suma de variables estocásticas de una misma distribución se aproxima a una distribución normal. Y la suma de variables estocásticas de diferentes distribuciones normales da una nueva distribución normal con $\mu_{sum}=\mu_1+\mu_2$ y $\sigma_{sum}²=\sigma_1²+\sigma_2²$ . Y con algunas estadísticas básicas de esta respuesta da

$$\mu=\sum\limits_{i=1}^s n_i\frac{i+1}{2}$$ y $$\sigma²=\sum\limits_{i=1}^s n_i\frac{i²-1}{12}$$ .

Hasta aquí he llegado, no sé cómo invertir esto. Como por ejemplo, qué función utilizaría para elegir los dados para aproximar $N(60,15)$ ? El valor medio puede ajustarse siempre con sólo sumar y restar, el problema principal es la desviación estándar.

Para contextualizar: Estoy pensando en una idea para un sistema de juego de rol de lápiz y papel en el que las probabilidades de éxito se dan en términos de la distribución y luego el método para obtener una variable estocástica de esa distribución depende de los jugadores. La función $f$ daría un grupo de métodos.

Answer 1

Después de investigar me he dado cuenta de que he complicado las cosas innecesariamente.

Si $X$ es la suma de suficientes n tiradas de dados de s caras para que se pueda utilizar el teorema del límite central entonces $X\in N(\mu_d,\sigma_d²)$ lo que significa que $X*k+m\in N(\mu_d*k+m,\sigma_d²*k²)$ . Índice $d$ indica que el valor es de la distribución real de los dados y no la que aproxima. $\mu_d$ y $\sigma_d²$ vienen dadas por las ecuaciones de la pregunta.

\begin{cases} \mu=k*n*\frac{s+1}{2}+m\\ \sigma²=k²*n²*\frac{s²-1}{12} \end{cases}

que da

\begin{cases} k=\sqrt{\frac{12\sigma²}{n²(s²-1)}}\\ m=\mu-\sqrt{\frac{3\sigma²(s+1)}{(s-1)}} \end{cases}

Así que si la distribución a aproximar es $N(60,15)$ Yo rodaría por ejemplo $n=10$ dados con $s=10$ lados e inserto $\sigma²=15$ y $\mu=60$ en las ecuaciones para obtener $k=0.4264$ y $m=52.58$ . Entonces multiplicaría la suma del rollo con $k$ y luego añadir $m$ .