Mi libro tiene una pequeña sección sobre la serie Maclaurin de $f(x) = (1+x)^a$ .
Esta función sólo se contempla cuando $x \gt -1$ . Así que el dominio es sólo $(-1, \infty)$
El número $a$ es una constante real (puede ser cualquier número).
Ahora... Nos gustaría saber para qué valores de $x$ y $a$ es cierto que:
$$(1+x)^a = 1 + \dbinom{a}{1}x + \dbinom{a}{2}x^2 + \dbinom{a}{3}x^3 + ... \tag{*}$$
(es decir, que esta serie en el lado derecho es convergente y su suma es el lado izquierdo).
Aquí utilizamos la notación del coeficiente binomial generalizado:
$$\dbinom{a}{n} = \frac{a(a-1)\dots(a-(n-1))}{n!}$$
- Para $-1 \lt x \lt 1$ y $a$ cualquier constante, pude seguir la prueba de que el término residual $R_n$ en la serie Maclaurin tiende a $0$ por lo que la igualdad (*) se cumple. La prueba es bastante enrevesada, pero la entiendo bien. Utiliza la forma Cauchy del término residual. Hasta aquí todo bien.
Pero me confundí con los casos límite.
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Si $a=1$ y para cualquier $x \gt -1$ mi libro dice que la igualdad también es cierta. Esa parte creo que también la puedo entender. Porque en ese caso, todos los términos de la serie después del segundo término son ceros. Así que la serie es de hecho una suma finita y es obviamente $(1+x)$ .
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Para $x=1$ mi libro requiere $a\ge 1$ para que la serie sea convergente... Pero realmente no veo por qué. Cuando miré las cosas demostradas ya en la prueba, creo que todas son válidas para cualquier $a$ (cuando $x=1$ ). Así que si $x=1$ ¿no es cierto para cualquier $a$ que la serie es convergente y su suma es $2^a$ ?
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Además, para los demás casos (excepto estos 3 casos anteriores), por ejemplo, cuando $x>1$ Mi libro no demuestra que la serie sea divergente. ¿Es demasiado complicado para un primer curso de análisis real? Supongo que por eso se han saltado esa parte. Pero eso es sólo mi suposición, podría estar equivocado.
