Estoy haciendo esta pregunta para mi hijo que está en (o equivalente) xii grado y no podía responder a su consulta.
Cuando él intenta integrar a $3\sin x\cos x$, se encuentra con que esto se puede hacer en al menos tres formas siguientes. Y estas tres formas no producen resultados equivalentes.
UNO
Supongamos, $\sin x = z$.
Esto le da, \begin{align*} \cos x &= \frac{dz}{dx}\\ \cos x dx &= dz \end{align*}
Así, podemos escribir,
\begin{align*} \int 3\sin x\cos x dx &=3 \int zdz\\ &=3 \frac{z^2}{2}\\ &=\frac{3}{2} \sin^2 x\\ &=\frac{3}{4}\times 2\sin^2 x\\ &=\frac{3}{4} (1 -\cos 2x)\\ \end{align*}
DOS
Supongamos, $\cos x = z$.
Esto le da, \begin{align*} -\sin x &= \frac{dz}{dx}\\ \sin x dx &= -dz \end{align*}
Así, podemos escribir,
\begin{align*} \int 3\sin x\cos x dx &=-3 \int zdz\\ &=-3 \frac{z^2}{2}\\ &=-\frac{3}{2} \cos^2 x\\ &=-\frac{3}{4}\times 2\cos^2 x\\ &=-\frac{3}{4} (1 +\cos 2x)\\ \end{align*}
TRES
\begin{align*} \int 3\sin x\cos x dx &=\frac{3}{2}\int 2\sin x\cos x dx\\ &=\frac{3}{2}\int \sin 2x dx\\ &=-\frac{3}{2}\times\frac{1}{2} \cos 2x\\ &=-\frac{3}{4} \cos 2x\\ \end{align*}
Los resultados encontrados en los tres métodos anteriores no son las mismas.
Si tratamos de un simple enfoque de la evaluación de los resultados de la integración en, $x = \frac{\pi}{6}$, obtenemos la siguiente manera.
De la primera,
$\frac{3}{4} (1 -\cos 2x) = \frac{3}{4} (1 -\cos \frac{2\pi}{6}) = \frac{3}{4} (1 -\cos \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{4} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}\times\frac{1}{2} = \frac{3}{8}$
A partir del segundo,
$-\frac{3}{4} (1 +\cos 2x) = -\frac{3}{4} (1 +\cos \frac{2\pi}{6}) = -\frac{3}{4} (1 +\cos \frac{\pi}{3}) = -\frac{3}{4} (1 + \frac{1}{2}) = -\frac{3}{4}\times\frac{3}{2} = -\frac{9}{8}$
A partir de la tercera,
$-\frac{3}{4} \cos 2x=-\frac{3}{4} \cos \frac{2\pi}{6} = -\frac{3}{4} \cos \frac{\pi}{3} = -\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = -\frac{3}{8} $
Claramente, estamos recibiendo algunos nonequivalent resultados. No hemos podido encontrar los errores o las explicaciones detrás de esto. Su ayuda será apreciada.
