¿Una pregunta sobre la EDP de primer orden cuasilineal?

Question

La siguiente PDE: $(x-y)\;\frac{\partial u}{\partial x} + (y-x-u)\;\frac{\partial u}{\partial y} = u$ con $u(x,0) = 1$

se satisface:

a) $u^2(x - y +u) + (y-x-u) = 0$

b) $u^2(x + y +u) + (y-x-u) = 0$

c) $u^2(x - y +u) + (y+x+u) = 0$

d) $u^2(x - y +u) + (y+x-u) = 0$

Mi intento:

He intentado resolver la siguiente EDO

$\frac{dx}{x-y} = \frac{dy}{y-x-u} = \frac{du}{u}$

Primero conseguí $d(x+y +u) = 0$ de donde deduje que $x + y + u = c_1$ .

En segundo lugar he sustituido $u$ en $y-x-u$ para conseguir $y-x+x+y-c_1 = 2y - c_1$ y el resuelto

$\frac{dy}{2y - c_1} = \frac{du}{u}$ para conseguir $\frac{\sqrt{y - (c_1/2)}}{u} = c_2$ . Por lo tanto, al volver a sustituir $c_1$ tenemos $$2c_2^2u^2 = y - x -u.$$

El valor inicial no me ayuda porque da $c_2^2 = -(x+1)/2$ que no es una constante. Además, mi respuesta no se acerca a las opciones proporcionadas.

Answer 1

De hecho, ninguno de los dos $c_1$ ni $c_2$ son constantes. Mejor dicho, la elección de los valores para ellos define una curva característica particular. Las condiciones de contorno (en este caso $u(x,0)=1$ ) dan las condiciones iniciales para cada curva característica. Lo que se calcula son las ecuaciones que a lo largo de la curva $(x,0)$ (el $y$ eje) las constantes $c_1$ y $c_2$ (el segundo se obtiene por el mismo procedimiento que el primero):

$c_2^2 = -(x+1)/2$

$x+1=c_1$

Para que ambas ecuaciones sean verdaderas deben estar relacionadas de esta manera: $2c_2^2=-c_1$ (sustituyendo $x+1$ en el primero por el valor del segundo)

Pero las constantes tienen que estar relacionadas en general, así es,

$\dfrac{y - x -u}{u^2}=2c_2^2=-c_1=-(x+y+u)$ o

$u^2(x + y +u) + (y-x-u) = 0$